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peut employer un artifice analogue à celui dont on se sert pour développer 
les fonctions de plusieurs variables. 
» On peut écrire nos deux équations 
Z=X+ato(z,z), 
ge y + bt4(z, 2). 
Alors z, z' peuvent être considérées comme fonctions de la seule variable t. 
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Dans la série, le terme de rang n prend une signification précise : il est formé 
, p 
par l’ensemble des n + 1 termes qui contiennent t” en facteur, et la série 
peut être considérée comme ordonnée suivant les puissances de ż. 
» Cela posé, on démontre les propositions suivantes : 
» 1° Étant données deux équations 
FÉES 0; 
Fi r;t)e 0, 
admettant pour tł = ż, un système de solutions (2,, z,), lorsque t variera à 
partir de t, on pourra toujours trouver des valeurs de z et de 7z’ fonctions 
continues de £ et se réduisant, pour { = #,, aux valeurs initiales trouvées; 
il suffit pour cela que les fonctions f, F restent continues et bien déter- 
minées, et que £ ne passe par aucune des valeurs qui annulent le détermi- 
nant fonctionnel 
dai AE. À 
dz dz dz dz 
» 2° Si l’on considère les valeurs de £ pour lesquelles le déterminant 
fonctionnel s’annule, pour les valeurs de ż voisines, les racines se permutent 
les unes dans les autres, suivant la loi que M. Puiseux a reconnue pour les 
racines des équations algébriques, et en général des équations pour les- 
quelles le premier membre est une fonction continue et bien déterminée 
des variables. 
» Le résultat précédent est facile à prévoir. On peut concevoir qu'on ait 
éliminé une des inconnues z ou 7 entre les deux équations; mais il est inu- 
tile de faire cette élimination, et on peut traiter directement les deux équa- 
tions simultanées. Il suffit de remplacer par des plans les droites qui ont 
été si utiles à M. Puiseux pour reconnaitre l’ordre des infiniment petits, et 
les polygones par des polyèdres. Au reste, cette proposition est inutile pour 
l’objet que nous nous proposons. 
» 3° Si l’on représente toutes les valeurs de £ par des points dn plan, les 
racines z, 7’ seront des fonctions monodromes de + dans l'intérieur de con- 
