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les courbures des surfaces », et donne lecture du passage suivant de la 
Lettre d’envoi : 
On a proposé de mesurer la courbure d’une surface en un point 
donné, soit par le produit — n 
bures extrêmes. Mais, dans le premier cas, on serait conduit à attribuer 
une courbure nulle à toute surface développable; dans le second cas, la 
courbure serait nulle pour toute surface convexo-concave dont les lignes 
de courbure auraient même rayon. Telle n’est pas évidemment l’idée qu’on 
doit se faire de la courbure d’une surface. 
» Si l’on conçoit, autour d’un us M, toutes les sections normales que 
l’on aa tracer sur une surface, et qu’on leur attribue une longueur L va- 
riable avec l'orientation u de la section, l’ensemble de ces jonpieürs ou 
étendues linéaires déterminera autour du point M une étendue superficielle 
t par la moyenne + (= + =\ des cour- 
— soit pa y = z 
27 
# . r I ` . , r + 
mesurée par l'intégrale - Ldu. D'après cela, si l'on veut s'élever de la : 
3 J, be ; ; 
notion de la courbure linéaire à celle de la courbure superficielle, de la 
même manière que l’on s'élève de la notion de l'étendue linéaire à celle de 
l'étendue superficielle, il est clair que l’on devra mesurer ou définir la cour- 
27 d 
bure de la surface en M au moyen de FES Š T £ dans laquelle = . 
0 
est la courbure linéaire de la section principale dont rina est p. 
Un théorème bien connu, dû à Euler, donne tout de suite 
FC Tedes e PF {cos a. sang i CRUE 
a t=if (i ydus s (++ ts) 
» La courbure superficielle, ainsi définie, joue un rôle essentiel dans 
quelques questions de géométrie pure ou de physique mathématique que 
J'ai indiquées. Je me borne à énoncer ici ce théorème, qui découle immé- 
diatement de l'équation précédente et me paraît justifier, en quelque sorte, 
la définition proposée : La courbure d’une surface ne peut étre nulle que si 
les deux rayons de courbure principaux, et par suite tous les rayons de cour- 
bure, sont infinis, auquel cas la surface se réduit à un plan: » 
