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» Formules relatives aux composantes de la courbure inclinée. — Si l’on 
considère un système de coordonnées tracées sur une surface, et qu’on 
prenne les composantes de la courbure inclinée suivant le plan tangent et 
suivant la normale, on trouve des expressions simples pour ces deux com- 
posantes, la première étant la somme de la courbure géodésique de la ligne 
coordonnée et du rapport différentiel de l'angle des lignes coordonnées à 
l'arc de cette même ligne, la seconde se composant linéairement, par 
‘rapport à la composante normale, de la courbure propre, et, à la seconde 
courbure géodésique, de la même ligne coordonnée. La première formule, 
page 27 de mon livre, est la même que la formule (10), $ XV, de mon Mé- 
moire sur la Théorie géométrique des lignes coordonnées quelconques, présenté 
à l'Académie en février 1862. Dans ce Mémoire, cette formule est démon- 
trée géométriquement par les propriétés angulaires du quadrilatère formé 
par deux tangentes aux deux lignes coordonnées et les projections sur le 
plan tangent des deux tangentes infiniment voisines. La seconde, page 77 
de mon livre, est la formule (12) de mon Mémoire sur la Courbure des sur- 
faces, présenté en 1864 au Comité des Sociétés savantes, et inséré dans la 
Revue des Sociétés savantes, t. VI, p. 411. Je fais un usage incessant de ces 
deux formules. 
» Formules relatives à la courbure d’une surface. — Ces formules, qui 
donnent la courbure de la surface en fonction des composantes normales 
des courbures propres et des courbures inclinées des lignes coordonnées, 
sont très-utiles dans les transformations. Ce sont les formules (6) de mon 
livre, p. 80; elles ont été données antérieurement par moi dans une Note 
sur la Courbure présentée à l’Académie en 1863 (Comptes rendus, t. LVII). 
» Formules relatives aux variations des arcs coordonnés. — Lorsque l’on 
fait usage des courbures inclinées, la variation d’un arc, laquelle aurait 
une expression assez complète sans l’intervention de ces courbures, se 
condense en un seul terme ayant une signification géométrique nettement 
définie, comme on le voit par les formules (8) et (8') de mon livre, p. 30 
et 34. Ces formules se trouvent aussi et sont démontrées géométriquement 
dans mon Mémoire sur la Théorie géométrique des lignes coordonnées, $ XIV. 
L'expression de la variation de l'arc y contient deux termes, relatifs chacun 
à une courbure inclinée de l’une des deux lignes coordonnées. Les for- 
mules IX de mon livre, p. 32, qui donnent la composante tangentielle de 
la courbure inclinée en fonction des variations des arcs, sont les mêmes 
que celles que j'avais déjà établies géométriquement dans le § XII du 
même Mémoire. 
