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» Relations entre les variations des courbures inclinées. — Ces relations, 
exprimées par les formules (6) de mon livre, p. 40, sont relatives, les unes 
aux variations des projections tangentielles des courbures inclinées, les 
autres aux variations des projections normales. Elles sont intuitivement 
contenues dans les formules (31) de mon troisième Mémoire sur la Théorie 
des coordonnées ( Annali di Matematica del S. Tortolini, t. VI, p. 84). Car 
dans ce Mémoire les arcs coordonnés do, do,, do, ont une direction quel- 
conque, et, dans mon livre, un de ces arcs est perpendiculaire à la direc- 
tion des deux autres. Or, si l’on conserve la notation employée dans mon 
Mémoire, il n’y a, pour passer du cas général au cas particulier, qu’à sup- 
poser que la surface p, coupe orthogonalement les surfaces p et pa; on voit 
alors, sans rien écrire, que tout facteur des cosinus de @ et de 6, disparait, 
que toute composante suivant do, d’une courbure propre ou inclinée 
devient normale à la surface p,, qu'enfin toute composante d’une courbure 
suivant les deux autres axes devient égale à la courbure tangentielle divisée 
par le sinus ou par la tangente de l'angle 6,, suivant que cette derniére 
courbure est oblique ou perpendiculaire à cet arc, et que, par suite du 
groupement déjà fait dans mes équations (31) des termes relatifs aux 
courbures de même espèce, on obtient d'emblée, sans le moindre calcul, 
les équations (6) de mon livre, p. 40. Ce calcul est, en partie, indiqué et 
effectué dans ma Théorie géométrique des coordonnées, § XXVII. On déduit 
de ces formules (6) la formule de Gauss sous la forme simple que lui a 
donnée M. Liouville en 1851 (Journal de Mathématiques, t. XVI, p- 130), 
et dont M. Bertrand a donné en 1853 (Comptes rendus) une si élégante dé- 
monstration géométrique. En effet, il suffit d'éliminer le binôme KE _ T° 
entre la premiére et la deuxième de ces équations (6); le résultat qu'on 
obtient est la formule de Gauss, sous la forme en question. On en déduit 
aussi l'expression non moins simple de la courbure d’une surface, en fonc- 
tion des variations des projections tangentielles des angles de contingence 
inclinée. Cette expression est donnée par la formule (7) de mon livre, 
p- 43. Cette formule a été communiquée bien antérieurement par mot, 
dans une Note explicative de mon Mémoire sur la Théorie géométrique des 
coordonnées, Note adressée en février 1862 à M. Bertrand, l’un des Com- 
missaires chargés de l’examen de ce travail. » 
` . . : : staire 
M. Berrran, à l’occasion de la communication faite par M. le Secrêtair 
perpétuel, ajoute la déclaration suivante : : 
