( 1o8r }) 
que l’on entre dans une partie intérieure ou que l’on sort d’une telle partie 
du plan, l'excès du nombre des quantités positives sur le nombre des 
quantités négatives est égal à l'excès du nombre de points de sortie sur ceux 
d'entrée. | 
» En prenant F, = F’, on a B = o, et l’on obtient une relation entre le 
nombre des racines réelles de l'équation F =o et le nombre des signes posi- 
‘tifs ou négatifs des quantités A. Puis, pour obtenir le nombre des racines 
réelles entre deux limites quelconques a et b, on peut poser 
F,=(x—-a)(b—x)F". 
Mais on peut obtenir ce même nombre en prenant successivement 
F,=(a—x)Fr, F,=(b—x)F. 
» En effet, si l’on garde les lettres A, N et 8 pour le premier cas, et que 
lon désigne par A’, N’ et 8’ les quantités correspondantes pour le second 
cas, le nombre des racines réelles x;, pour lesquelles l'inégalité a < x, < b 
a lieu, se trouve exprimé par le nombre | 
B-B=N-N 
» En désignant par C; le coefficient de x*-* dans F;(x), ces coefficients 
sont liés avec les quantités A par les relations 
i Cru 
À; = G 
où il faut prendre C, = 1. En vertu de ces relations et des relations carac- 
téristiques (1), on peut vérifier immédiatement les formules combinatoires 
connues, dans lesquelles les fonctions F se trouvent exprimées par les ra- 
cines +, de l'équation F = o. Je reviendrai sur ce sujet dans une autre com- 
munication, et je veux traiter alors le cas où quelques-unes des quantités A 
s'évanouissent. Il est vrai que ce cas ne fait pas une exception quand on se 
sert de la méthode de Sturm; mais, en s'appuyant sur la théorie des formes 
quadratiques, il faut une recherche particulière, qui du reste n'offre point 
de difficulté. Cependant la discussion de ces cas particuliers est nécessaire, 
Puisque la détermination du nombre des racines réelles d’une équation par 
les signes des déterminants formés par les sommes des puissances de ces 
racines 
da) Soat Le 
Sis Says. Smi 
Sms Smæis-. Sam 
C. R., 1869, 1°" Semestre. (T. LXVII, N° 19.) 142 
