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quadrature est 
Le: ka Pr. 
Gauss a montré qu’en prenant pour les nombres a les racines de l’équation 
X»4, = 0, obtenue en égalant à zéro le coefficient de &*** dans le dévelop- 
I ; 
pement de ——— -, la correction est seulement 
Vi 2an + a? 
Banci ia ses: 
l’approximation est doublée. 
» Jacobi, considérant l'intégrale S r à réaliser la 
même approximation; K,K,,... PR ie les coefficients du déve- 
loppement de la fonction F(x) suivant les puissances de x, etil a montré 
que les nombres a, 4,, a,,... doivent être les racines de l'équation 
cos(n +1 arc cosx) = o. 
Or il arrive que, dans cette méthode, tous les coefficients R,R,,... sont 
égaux entre eux, et que la quadrature est simplement 
pr | cos (2p +1)r 
CUS =e oe 
nyai 2(2 +1) 
» Voici comment on peut arriver à ce résultat. Soit U le se 
(xæ— a)(x—a,)...(x — an). 
Le nombre R multiplié par la dérivée de U par rapport à x, pour x =a, 
est égal à l'intégrale 
a U dx 
PIN EU mas À 
— ] T—a V1 a a 
= UU”, 
et si l’on fait 
U 
yz — I 
U’ étant la partie entière du développement du premier membre suivant les 
puissances de x, U” la partie fractionnaire, on trouve que l'intégrale pré- 
cédente est la valeur de rU’ pour x = a. D'autre part, on démontre aisé- 
ment la relation 
(n +1)U'= 
d'où l’on conclut que les nombres R, R,,... sont tous égaux à a 
qui démontre la formule annoncée. 
