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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un problème de calcul intégral ; 
par M. J.-A. Serre. 
Un savant anglais, M. Crofton, a communiqué, il y a quelque temps, 
à l’Académie un théorème de calcul intégral qui n’a pas manqué de fixer 
l'attention des géomètres, tant à cause de l'élégance du résultat obtenu que 
de la méthode singulière et ingénieuse dont l’auteur a fait usage pour léta- 
blir. Voici en quels termes M. Crofton a énoncé son théorème : 
« Soit un contour convexe de forme quelconque, dont la longueur totale est L, 
» el HE renferme un espace Q; si l’on appelle 0 l'angle des deux tangentes me- 
» nées d'un point extérieur (x, y) à ce contour, on aura l'intégrale 
[fe — sin@)dx dy = =L—r0 
» pour toute la surface du plan, extérieure au contour (*). » x et y désignent, 
bien entendu, des coordonnées rectangulaires. 
» Il est trés-remarquable que ce corine subsiste Fr le contour 
convexe L, au lieu d’être une courbe continue, est formé de parties droites 
ou courbes faisant entre elles des angles quelconques. L’angle ĝ est toujours 
celui sous lequel le contour L est vu du point dont les coordonnées rectan- 
gulaires sont x et y; mais les droites circonscrivantes qui en sont les côtés 
ne sont plus nécessairement des tangentes, et elles peuvent pivoter autour 
des divers sommets du contour. 
» Il est évident que, pour établir la formule de M. Crofton dans toute sa 
généralité, il suffit de se borner au cas où le contour L est un polygone 
rectiligne convexe d’un nombre quelconque z de côtés; la démonstration 
peut être alors présentée d’une manière très-simple, comme il suit. 
L'origine des coordonnées étant placée à l'intérieur du polygone, soit 
w l'angle formé par le rayon vecteur du contour L avec la direction des 
abscisses positives. Nous supposerons que cet angle croisse lorsque le rayon 
vecteur se meut en a de laxe des x vers l'axe des y, et nous repré- 
senterons par À,, A,,..., À,_, les sommets du polygone dans l’ordre où ils 
sont rencontrés, chaque pouvant être, si lon veut, augmenté de n; 
nous désignerons par w;_, la valeur de w, lorsque le rayon vecteur est per- 
pendiculaire au côté A; À;. ; 
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(*) Comptes rendus de l’Académie, t. LXV, p- 994. 
