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» Quelques cycliqnes peuvent être définies d’une infinité de manières 
par une équation de la forme 
a i =N"Tr 
R, R',..., r,r',... désignant les distances rectilignes à des points de la 
sphère. Cela ma conduit à étudier toutes les courbes planes et sphériques, 
plus générales que les cycliques, qui peuvent être définies par une équa- 
tion de la forme précédente. Ces courbes peuvent faire partie de systèmes 
orthogonaux et isothermes, et j'étends à toutes, les deux propriétés les plus 
importantes du cercle. 
» On obtient, comme conséquence de ces propriétés, une démonstration, 
nouvelle et indépendante de la théorie des fonctions elliptiques, du théo- 
rème de Poncelet sur les polygones inscrits et circonscrits. On démontre 
même un théorème qui est un peu plus général que le théorème de Poncelet. 
» Quant aux surfaces étudiées dans ce travail, ce sont les surfaces du 
quatrième ordre, ayant le cercle de l'infini pour ligne double. Elles ont été 
d’abord étudiées par M. Moutard en 1864, mais il est juste de reconnaitre 
que, déjà en 1863, M. Kummer avait étudié d'une manière générale les sur- 
faces du quatrième ordre à ligne double. Quoi qu'il en soit, le caractère 
spécial de la ligne double donne la plus grande simplicité et le plus grand 
intérêt à l'étude de ces surfaces. Cet intérêt a été augmenté par la décou- 
verte, faite en 1864, d’un système triple orthogonal entièrement compose 
de ces surfaces et analogue au système des surfaces homofocales du second 
degré. L'étude de ce système orthogonal m'a conduit à une conséquence 
nouvelle, exposée dans ce travail. Les coordonnées d'un point d’une surface du 
troisième degrés expriment d’une manière très-simple par des fonctions abéliennes 
uniformes à quatre périodes. Cette expression est semblable à celle ge 
M. Clebsch a obtenue pour les courbes du troisième degré, et qui ne dé- 
pend que des foncti lliptiques. Les fonctions abéliennesà quatre périodes 
paraissent donc jouer, dans la théorie des surfaces du troisième degre, le 
même rôle que les fonctions ellipti dans l'étude des courbes du troisieme 
ordre. J'espère pouvoir présenter prochainement à l’Académie une série de 
nouveaux systèmes orthogonaux, analogues à celui que j'étudie en ce mo- 
ment, et comme conséquence de cette étude, les expressions, au moyen des 
fonctions abéliennes, des coordonnées des surfaces de degré supérieur. 
» Les surfaces du quatrième ordre que j’étudie senles ici font partie d'une 
classe très-générale de surfaces nommées analligmatiques, par M. Mou- 
tard. Pour distinguer ces surfaces des autres anallagmatiques, je proposé p 
