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 (voir/oc. ciL, iheoreme 11 ) . Sil'on pose a, = a,-^ o,cesfonctionsprenneiit 

 les valeurs constantes Cl^\ que j'ai indiquees dans la Note cilee (voir theo- 

 reme III). Pour abreger, je designerai cos systemes orthogonaux par (f«;f') 



et(CLT)' , , 



» De plus, representons par r, r J le systeme orthogonal (&'i^(^, , x^)) 



decouvert par M. F. Caspary et qui decoule, d'ailleurs, du systeme (f.^*) 



pour p = o, et par V., (^ "") le systeme qui s'en deduit en echangeant les 



lignes et les colonnes. Si Ton y substitue les caracteristiques ^ j ' , o' ] i' 



les systemes se changeront en 



K> O ^'C') ^^="^^- 



)) Cela pose, je tire de mes recherches le theoreme remarqnable : 



» Le systeme {01^), compose par les systemes respectifs Y,(^^ o)' ^^o J' 



r,(^ o)' ^^(o o)(^ = ^' ^)' /^"'''^'^ ^'"-^ quadruples de systemes orlhogo- 



naiix de la forme 





({:;:;■''") 



=PA,^-, qzAay, rpA,,-, A„- 



qui remplisscnt identiquement les conditions d'orthogonalitd. Les deux signes 

 correspondent aux deuv quadruples respectifs. , 



« D'un autre cote, les coefficients X^,{i J --= i, ^^/^ A) coincident auc 

 coefficients homologues c\ i^K ^^^ ^^^, 



» Ainsi on obtient hiiit differentes expressions des seize coefficien s 

 time (fy>) au moyen des carres des fonctions theta. 



.. Pour p r= I, le systeme {i^'^p prend la forme 



{'^l^{x„cc,)dHo^%<^{^^.^-^)^ 

 et le systeme (C^^^') la forme 



>' Dans ce cas particulier, je vais communiquer les expresi,.on. 



