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oiiX Y, Z sont Irois fonclions aibltraires ne dependant respeclivement 

 quede^,X,2. Cette indeterniinatioi. de la fonctioii t est importante et 



nous a conduits, entreaulresVesultats, a une modincatinn^ 

 formules de Betti et de M. Somigliana. Faisons X = Y = Z = i , nous re- 

 irouvons I'eKpression de Borchardt et nous en deduisons que si u, f, «■ 

 verifientles equations (.), ainsique les conditions de conlinuite fondamen- 

 tales dans »n domains clos a la frontiere duquel ces fonclions s annulent 

 et ont des derivees premieres continues, on a 



///[4(t; + T= + -D + (? ■-- 'WV'-^'/y'i^ = "• 



ou ., , T,, ., sont les composantes de la rotation ; on voit que si E + . est 

 positif, «, ^, w sont des fonclions harmoniques qui, etant nulles a la tron- 

 ticre, sont identiquemenl nulles. „„„„;„ri 



„ Le cas ou ? + . = o doil altirer I'attenlion. Le systeme (.) acqu.ert 

 alors un de^re de generalite exceptionnel, et il est clair que, dan^cecas 

 ,1 ex,s,e normalement des integrales s'annulant a a ^ontier j 

 domaine clos; on pent faire disparaitre cet.e s.ngulante '^--^y^''^^, 

 u<, wa annuler Mi el a M-oir des derivees troisiemes conlinucs dans 

 Jomaine; ces conditions supplementaires sont -^^ifiees d'elles-memes 

 pour les valeurs de \ differentes de - .. et penneltenl d etendrc a 

 valeur - i la proposition sur I'existence unique. pfforces 



. Pour i.dKiuer nettemen, le but que nous nous somme^ effo c 

 d'atteindre a I'egard des fonctions de I, "7^P'"<'"''r''"V',„, ,„,e les 

 simple. Le probLe de la sphere resolu d'abord P^-'/-''^' l^' ^^ „ , 

 efforts sur la surface sont imposes, a ete lepris P- 1;-^ .,!^ '.^I, „1„„e 

 traite aussl le cas ou les deplacements sontdonnes a la """^ ' ^c 



probleme a fait ensuUe Vobjet des recherches de «- ';";;;, ,,,,,, 

 MM. Cerruti, Somigliana, Marcolongo, et "nfi", les tra^au -^^^^^^ ^ ^^^ 

 taneau et Almansiont conduit a une solution P»rt'0»l'eye'"'="'; ^.'^ .^^ ^^ _ 

 neanmoins, ne differe pas essentiellement de cede ^i" /-""^^ ,,,. 



peut presenter cette derniere de la manifere suivante . soren 

 des fonctions harmoniques prenant les valeurs donnee^^,^^^^^^ ^^^^^^^^. 

 frontiere d'une sphere de rayon a nyant pour cen re 



les valeurs donnees po 

 jr centre I'orig 

 iseriedepolynomessplie 



ledeveloppementde^ + -,^ . ,, „,, les formules 



defmissons des nombres k, et des polynomes U, par ^^ 



puis deux autres scries de polynoroe 



s V„ W, se d^duisant des U, par P^^" 



