( I09I ) 

 mutation circulaire de .a?, r, :?; on a 



et (!es formules analogues pour ^, qt', en remplacnnt //„, U,, par v^, V,-, puis 

 pir ii„. W^. Ces formules mettent en evidence que u, r,(T'sonldes fonctions 

 nniforjnes de E admettant les memes points critiques, savoir le point sin- 

 L'ulicr cssenliel —2 et les poles simples /Cf,k,, ...: les residus du pole ki 

 soiit les fonctions X7 {],-, kj V,, k'^ W/ qui jouissent de la propriete de s'anmder 

 <i lafrontiere et de verifier les equations (i) oil. l on fait ; =r= /•.. 



• On peut d'aiUeurs exprimer autrement les rcsultats precedents, 

 (i (lesignant la fonction de Green, il existe, pour la sphere, des fonctions 

 iKumoniques F, (qui ne sont autres que les polynomes spheriques) veri- 

 l''«nt I'equation fonctionnelle 



\-r.Y, 



-\fjj(M'!^-§$-i:'!::^)''-'-''^-^ 



laquelle entraine les relations fffF^l\d^xdydz = o{ifA): si Ton 

 determine des fonctions U„ V„ w/s'annulant' a la frontiere et dont les 

 paranictres diffcrentiels du second ordre soient egaux respectivement aux 

 ( envees premieres de F,, ces fonctions verifieront les equations (r) 011 

 - = k, et donneront lieu aux formules telles que (2). 



^> Ces resultats ont une cerlaine analogic, avec ceux rencontres par 

 ■ ■ . Picard el Poincare; mais une particularite se presenle qui tient a 

 (^^'fsfrnce du point ^ingulier essentiel - 2. On connait Fobjection faite 

 aja demonstration du principe de Dirichlet donnee par Riemann, objec- 

 J*^n q„, n'atteint pas le resultat Hnal. Ici elle a pins deportee. Si nous 

 considerons Tintegrale f f f {S^n -^ l,v + l,iv ) dr dy dz, ou les fonc- 

 lons^/ ^,^ j^, ^\,^j^^j^^^ ^ la frontiere, salisfont aux conditions de conti- 

 ""•le tondamentales et sont telles que fff^'dxdvdz ^ i, elle a un mi- 

 ^^nium I qu'elle atteint; si Fon adjoint les conditions supplementaires 



iquees pl„s haul, parmi lesquelles se trouve \Ji = o, cette fois, le mi- 



"frfi n est pas atteint. 

 "< t J ^""^^^ cherche a voir dans quelle mesure tout ce qui precede 



f-niers ^'*^ ^^"^'^^^ ' ^'application des raisonnements employes dans ces 

 f'ind'tes'"^^? *''*'^ ^^' ^'''^''^ et Poincare et par M. Le Roy ofire des 



!!h),1,!, *" ^^'jGssantes qui nous ont conduits a reprendre Fetude des 



,,_,j, ^r ' p"'* ^^r^'"es a celle de Neumann, proposees par M. Lauricella 



