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 (i) et requation dc Laplace et Ton a le moyeii d'cn ajoiiler beaucouj) 

 (I'aiitres. 



» Le systeme (i) se rattache, par le calcul des varialions. a I'expres- 

 sion a de iiotre precedente Communication; designons par — pX-, — p5, 

 - pi les premiers membres de ce systeme etdefinissons trois foactions .f, 

 (J, X par des formules telles que 



d.c dy ^ Oz 



oil /, m, n sont les cosinus directeurs de la normale exLerieure a la surface 

 d'un domaine; puis formons pour un second deplacement {u^, (',, w^) les 

 expressions analogues — p.X,,, — ^i^,, -pi,» ^Uy (in ^< ; nous aurons la 

 relation 



(5) ffflp.xu,dr-^ffir:u^ds=^fffl?^%,ad.-i-ffZS^uds 



qui ne differe pas essentiellement de celle de Betti relative au cas ou 

 X — Y=:Z = --T.En reprenant ici avec la fonction dirigee (u\ v' , w') la 

 theorie que Ton developpe pour I'equation de Laplace avec I'inverse de r, 

 on obtient la relation 



(6) ^\^(ku-^B^-^Civ)r=ff/l^Xu'dx-^ff^S'n^ds-fflfuds 



qui donne une modification utile des formules de M. Somigliana. 



» Chacunedes trois integrales du second pembre de (6) peut se mettre 

 sous la forme 4t.(AJJ h- BV + CW); h fonction dirigee (U, V, W) est, 

 dans les trois cas, respectivement I'analogue du potentiel newtonien d'une 

 masse a trois dimensions, du potentiel d'une simple couche et du potentiel 

 d'une double couche. La premiere inlegrale de (6) a ete rencontree par 

 Lord Kelvin; M\L Volterra etLauricellaW etabli qu'elle jouit a Tegard 

 tju systeme (i) des memos proprieles que le potentiel newtonien a Tcgard 

 «e I'equation de Laplace. Ajoutons que les constantes 4^A, ^tzB, /t-C 

 Peuvent etre interpretees comme les composantes d\me force en un point a 

 laquelle repond le deplacement («', v', <^') ^t que les trois integrales 

 •'/'^^'^ ffQ'ds, ff3t'ds, qui forment la notion analogue a I'lntegrale de 

 ^-^"ss, sont nuUes, respectivement egales a 4^A, 4^B, 4^C, ou a 2:zA, 

 ^~I^» 2-C suivant que (a, b, c) est exterieur a la surface d'.ntegration, lui 

 ^^stmlerieur ou situe sur elie. La seconde integrate de (6) est identique, 



