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/I 4- 2, Les equations differentielles d'un quelconque de ces systemes 



de caracleristiques ne suffisent pas, lorsque 7i> i, pour determiner com- 

 pletement ces caracleristiques, qui dependent de fonctions arbitraires. 

 Mais si ces equations presentent des combinaisons integrables, on peuts'en 

 servir pour Tintegration de I'equation proposee, comme dans la melhode 

 de Monge ou dans celle de M. Darboux, pour I'integration d'une equation 

 du second ordre a deux variables independantes. Ainsi : i'^ si du = o est 

 une combinaison integrable de Tun des systemes de caracteristiqiies, les 

 deux equations F = o, m = C ont une infinite d'integrales communes de- 

 pendant de fonctions arbitraires; 2^ si I'un des systemes admet r combi- 

 naisons integrables distinctes du, = o, du,,=^o, ..., da,.= o, requation 

 proposee F = o adfnet une integrate intermediaire, qui pourra etre d'ordre 

 superieur a n, 



<p designant une fonction arbitraire ; 3° si I'equation admet n families de 

 caracteristiques et si chacune d'elles presente r combinaisons integrables 

 distinctes, Tintegration de I'equation F = o est ramenee a celle d'unsys- 

 teme d'equations differentielles ordinaires, etc. 



)> La forme I, qui joue ici un role fondamental, s'est deja presentee 

 dans des recherches recentes de M. Forsyth ('); mais le point de vue au- 

 quel s'est place I'auteur, ainsi que la methode suivie, sont entierement di - 

 ferents. 



« 3. Toutes ces considerations peuvent s'etendre aux systemes d'equa- 

 tions simultanees. Soient 



g equations d'ordre n enlre q fonctions inconnues s,, :?,, 

 riables independantes a;^, ^,, . . ., ^rl ^^^^ poserons 



, __ ^a..a....^«^ ^ ^F^ .^ p^;;^ 



et nous aurons a considerer les ^' formes auxiliaires 



^.-2P«^-^^'"'^''*"*^"^' 



(') Philosophical Transactions of the Boyal Society of Lo, 

 1-86; 1898. - Cambridge Philosophical Transactions, vol. XV i 



