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 rentielles totales de second ordre et de la forme suivante : 

 (I) d'^z + kdx''-^V>dy^-^Cdz^' -h 2Tidxdy + i^dxdz + iY dy dz = o. 

 ou A, B, . . ., E, F sont des fonctions de 07, j, z. 



)) Si requation aux differentielles totales donnee (I) est satisfaite par 

 une equation entre x, j, z, /(x, y, z) = o, on Vappe][ecomplctementinl€- 

 grabk. 



» Les conditions necessaires et suffisantes pour que I'equation aux diffe- 

 rentielles totales donnee (I) soit completement integrable, sont 





' dC dE 

 da; dz 





^ o, 



dC d¥ 

 dj'-d~x 





--=o. 



(II) . 



1 dk ^D 

 1 dy dx 





=:DE-AF, 

 = FD-EB, 



dA dE 

 dz dx 

 dB d¥ 



Tz-Ty 





= E'- AC, 

 = F-CB, 





dy dx 



cm 



dz 



==CD — EF, 



dE dE 



^dx ~ dy 



dD 



dz 



=:CD-EF; 



car Texistence d'une surface integrale demande que z soit une fonction 

 dex,y, ainsi 



dz.^pdx-i-qdy. 

 Substituant cette valeur pour dz en notre equation aux differentielles 

 totales (I), on aura 



d'z = _ (A 4- 2E;> 4- Cp') dx' ^ 



-i{D-hEq-^Fp-\- Cpq) dx dy - (B 4- 2.Eq --f- Cq')dy ; 

 mais on a 



, d'z = rdx- -\- isdx dy ^ tdy\ 



dou 



d{k + iEp^Cp-) _ ^^^D^tl^^jtJ^ll^^; 



~dj " ^-^ 



^(B-f-2Fpr/ + C^^) _ c?(D4-Ery-4-F£+jC^. 



~~d:^ " ^/ 



» En posant, dans les formules developpees, 



r^~{L^^Ep^Cp% s^^{D^Eq-^-fp-rCpqh 



/=-(B + 2F^-HC^^), 



et en egalant a zero les coefficients des diiferentes puissances de/^ et q, on 

 obtient les formules (II). 



