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 form^ment a des fonctions abeliennes (non degenerescentes) de n va- 

 riables u, , M2» • • -, w«, c'est-a-dire de telle maniere qu'a un systeme de va- 

 leurs des u ne corresponde en general qu'un groiipe et que, inversemenl, 

 a un groupe arbitraire de la serie ne corresponde qu'un seul sysleme dc 

 valeurs des u, abstraction faite des periodes. Le nombre n, comme il est 

 classique, est egal au genre/? de la courbe. 



)) Une question analogue peut etre posee pour les surfaces algebriques. 

 Est-il possible de trouver sur certaines surfaces algebriques des series de groupcs 

 de npoinls, dependant de in parametres, et correspondant uniformement 

 a des fonctions abeliennes (non degenerescentes) de 2.11 variables //,, 

 "2» •.., «2«» c'est-a-dire de telle maniere qu'a un systeme de valours des u 

 ne corresponde en general qu'un seul groupe, et que, inversement, a un 

 groupe arbitraire de la serie ne corresponde qu'un seul systeme des m, aux 

 periodes pres? Gette circonstance peut se presenter pour /^ = i, et Ton a 

 alors des surfaces hyperelliptiques. II paraissait vraisemblable que, pour 

 d'autres valeurs de«, on aurait des classes de surfaces algebriques jouissnnl 

 de la propriete indiquee. En realite, il nen existepas; c'est ce que je mc 

 propose de montrer dans cette Note. 



» Considerons done la surface 



f{x,y,z):=- o (dedegre/«), 



et, ensupposant/i>i,soient(^i,7M z,), ..., (^„, j„, :i J les coordonnccs 

 de n points arbitraires de cetle surface. En designant par ;,, Lf •••' ^^« ' 

 des fonctions rationnelles arbitraires symelriques des ^, j, - en norabrc 

 2« H- I , on aura une hypersurface 



F(E.J.,...,^a„.,)=o, 



dans I'espace a 2« + i dimensions, et cette hypersurface correspomlra 

 uniformement au groupe des n points. D'apres les hypotheses taitcb, e> 



coordonnees d'un point arbitraire de h surface F s'exprimeront unifo.-- 



mement par des fonctions abehennes de 2n variables u,,u, «■,,.<' 



en deduit facilement que le eenre geometrique de F est egal a un. uei . 

 la surface F aura 2« integrates de differentielles totales de prem ^^^ 

 esp&ce, dont inversion donnera ies I et par consequent le S'^'^i 

 n points (x,y,z)<,n fonctions abeliennes des u. Ilenresulteqno a . • ^^ 

 initiale / possedera 2n integrales de differentielles totales dc i 



