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 » Le genre geometrique de / est done an plus egal a un; mais, d'autrc 

 part, il ne pent etre egal a zero. On a, en effet, Tidentite relative a toute 

 surface possedant deux integrales de differentielles totales de premiere 

 espece 



oil M est un polynome adjoint d'ordre m — 4- Si le genre de / etait nul, 

 on aurait 



par suite, les 2n integrales (i) seraient fonctions les unes des autres, et 

 les :in equations (2) ne poiirraieht etre distinctes. 



» En designant done, comme plus haiit, par (a) I'integrale double dc 

 premiere espece relative a la surface / de genre un, nous aurons les 

 identites 



p.Q,_p,Q.^A,,^f^, 



les Art etant des constantes qui ne sont pas toutes nulles. 



» Considerons trois integrales lineairement independantes parmi les 

 integrales (1) correspondant a i---i,2,3. Nous pouvons, par exemple, 

 supposer que 



C etant une constante differente de zero, et soient 



A et B etant deux constantes qui peuvent etre nulles. De ces identites on 

 conclut 



AP, + BP. 4- CP3 - o, 



AQ, + BQ.+ CQ3 = o, 



et ces relations sont inadmissibles, puisque les trois integrales de '^' f"^"^ 

 tielles totales considerees sont lineairement independantes. ^J^"^^/),^^^ ^^^ 

 done a une contradiction, et le theoreme enonce est etabli. l^.n c ^ _ ^^^ ^^^ 

 surfaces hyperelliptiques, le prohUme classique de Vimersion ne jxu 

 a des equations de la forme ( 2 ). » 



