( 1702 ) 

 ensemble parjait E, d'ailleurs quelconque, ily a toajours dans cet ensemble dcs 

 points dans le domaine desquels la theorie da changement de variables pent 

 sappliquer, pourva quon ne considere que les points de V ensemble E. 



» IV. Assiijettissons mainlenant notre fonction a verifier Tequation 

 iL _4_. ^ = o, et considerons les valeurs qu'elle prend sur la droite 

 a? -- j= const. On a ainsi une fonction d'une variable 9(^); en interpre- 

 tant les resultats duparagraphe precedent, on reconnait que cette fonction 

 a les proprietes suivantes : 



» E etant un ensemble parfait de points (qui pent etre le continu, ou un 

 ensemble iion dense), Uy a, au voisinage de tout point de E, des points 

 de E, quonpeut appeler stationnaires par rapport d E : «' A[^o] ^^^ unde ces 

 points, a tout nombre positif e correspond un nombre a, tel que M, et Mo etant 

 deux points de Epris dans rintervalle (t^, — oc, t^-h a,), on a 

 I /(M.)-/(M,) I ^ 



I mtm; P^' 



)) Par analogic avec la notion de fonction ponctuellement discontinue, je 

 dirai que la fonction ^(^) est ponctuellement variable, relativement a tout 

 ensemble parfait. 



)) J'enonce le theoreme suivant : 



» Une fonction d'une variable, qui est continue, et qui est ponctuellement 

 variable relativement a tout ensemble parfait, est constante. 



)» Ce qui me semble donner de I'interet a ce theoreme, c'est qu'il existe 

 des fonctions continues, non constantes, et telles que dans tout intervalle 

 il en existe un autre ou elles sont constantes; autrement dit, une fonction 

 pent etre continue, et etre ponctuellement variable relativement au continu, 

 sans etre constante. 



>» Le theoreme qui precede permet d'integrer I'equation aux derivees 

 partielies, dans le cas ou Ton suppose, outre les conditions indispensables, 

 la continuite de la fonction par rapport a I'ensemble {xy) ; on voity en effet, 

 que la fmction doit etre alors constante sur chaque droite ^7 ~ j = const. 



« V. Ce que nous venons de dire relativement a I'equation -^"^ dy^^ 



peut s etendre a toute equation de la forme 



