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)) II s'ensuit que /g est la reduite qui termine la premiere moiUc de l;i 

 periode complete de Gauss, ou, si Ton suit les vuesde Lagrani^c, relic qui, 

 reproduisant la forme iuitiale avec les signes de ses deux termos cxtrrnics 

 inverses, termine sa periode a lui, telle qu'il remploie en y aiJplKpiaiit 

 ralgorithme des fractions continues (moins commode d'aillcurs (pie Fal- 

 gorithnie dont Gauss fait usage). L'indice 5 est impair; la fraction convcr- 

 gente qui y correspond dans la methode de Lagrange repond donr a la 

 solution en nombres entiers de Fequation /^ — D //'- = — i (T/ironr (I<s 

 nombres, 3^ edition, § V, p. 55). C'est aussi, comme on va Ic voir, cv (pic 

 donne, dans la question presente, le procede de Gauss, en lui faisant suhir 

 une legere extension (^). 



» Faisons, comme dans le cas ou la periode est complete et en prenant 

 positivement les coefficients de a, S, y (ainsi, du reste, que Gauss le pres- 

 ent alors, Bisq., 198), ^, ~ - (ag 4- Sg) et m, = —; nousaurons ici, a cansr 

 de a = I , puisque jn est aussi egal a i , 

 /, = 4w3-+-6^^+6^H-2, u^=^ 2n'^-i-2n-i-i, avec D — 4/r -t-4/< -i- 5. 



» Substituant ces valeurs dans Tequation /; — Du] ~ — f, on trouve 

 qu'elleestsatisfaite,car^'^I6/^^ + 48/^'^-84^'-^^S«'-^6oAr4-24/^-f-4» 



(') On pouvait s'altendre a rencontrer dans les deux methodes une pareille confir- 

 mite de resultats, puisque les reduites de Gauss, contigues par leur derniere parlie, 

 ne font en somme que reproduire les coefficients numeriques des transformees de 

 Lagrange, a la condition de lire de droite a gauche ces transformees, qui sent conligues 

 par leur premiere partie, d'y prendre lamoitiedu termemojen, etd'y donner toujours 

 le signe -f- a ce terme qui y est alternativement positif et negatif Q. Je dois dire toutefois 

 que Gauss ne semble pas s'etre occupe particulierenient de la solution de I'equalion 

 ^^- D «^= - 1 . 11 ne s'explique done pas sur I'application qu'on y pouna.t faire, pour 

 obtenir les valeurs convenables de t et u, du procede qu'il donne au n- 198 des Vis- 

 msiliones pour resoudre I'equation t^^-W^+m\ Je fais voir ici que les memes 

 formules s'y adaptent aussi tres bien, toutes les fois que la premiere moiUe de la pe- 

 ^>ode complete se termine par une reduite inverse de la forme initiale [done (-«, ^O 

 ^- Heu de (., 6, -^c)], et que cette moitie se compose d'un nombre impair de termes, 

 "^^^s a la condition qu'on admette, a Voccasion, des valeurs fractionnai.e. t ^_^^ ^ 

 q^e les theoremes de la presente Communication ont d'aiHeurs pour )u 



ans les cas generaux qui y sont specifies. 



(*) C'est au P. Pepia que je dois cette remarque de la quasi-ideul.le ^,*-^^' ''^"''' ''''''■' ';,^^^^ 

 "^ec les reduites de Can., d.n. In r.s de D posilif: re.narque do„l .1 ". a p.n n .| i ^^ 



