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11 novembre 1844, et qui a été publié en 1848, avec de nombreuses add 
tions, dans le XXXH?® cahier du Journal del Ecole Polytechnique. Ainsi 
l'égalité de la page 575, Note IT, et l'égalité de la page 589, Note IV, par 
lesquelles on connaît la courbure géodésique d’une courbe quelconque 
- tracée sur une surface et la courbure de cette surface, ne different que par 
les notations des égalités (9) et (14) du $ H de mon Mémoire. Depuis, 
M. Liouville ayant eu l’occasion de revenir sur le même sujet, dans ses a 
leçons au Collége de France, a donné quelques formules nouvelles ana- M 
logues aux miennes, mais plus générales (*). Enfin, M. Chelini a montré, 
(28 mai 1851) dans les Annales de Physique et de Mathématiques publiées | 
à Rome, que les nouveaux résultats de M. Liouville pouvaient être faciles M 
ment déduits des miens ; toutefois, la marche suivie par M. Chelini n'est 
pas, je crois, la plus simple. On va voir, en effet, qu’une fois les formules | 
établies dans l'hypothèse des lignes coordonnées rectangulaires, ce qui est 
le cas que j'ai constamment considéré et ce qui me paraît être le cas fonda- 
mental, on passe immédiatement, comme je l'avais remarqué depuis long- 
temps, au cas des coordonnées quelconques examiné par M. Liouville.. 
» Les lignes coordonnées (x) et ( y) étant supposées rectangulaires, J'ai 
obtenu, à la page 43 du XXXHE® cahier du Journal de l’École Polytechnt 
que, la formule suivante : 
AS di cosô cos 0 ; cos 0 4 
(1) Tibet cosi — sin i. 
E je NP a Pere 
(Je renvoie au Mémoire pour la définition des éléments qui entrent dans 
cette formule.) Supposons maintenant que l’on substitue aux lignes coor- 
données ( y) d’autres lignes ( y’), faisant avec les lignes (x) un angle vario 
w; la formule précédente, appliquée aux lignes ( y’), donnera 
$ do {cos ; cos à cos 0 5 
2 me N R ne I N iain Cos peo ae 
a o F (= = (=, o (= ), sin o. 
Éliminant (= s 
Se 
), entre (1) et (2), il vient 
di. cos à 
Qi. 
ee (=) sin(w—i)  /cos6\ sini do sini, 
\ e /z sinw p jy So dy sino. 
c'est la formule que M. Liouville a substituée à notre formule (1). 
(*) Foyezle Compte rendu du 14 avril 1851, et Pun des derniers numéros du Journal de 
Mathématiques. 
