(gt) 
» Reprenons, en second lieu, la formule (14) de la page 54 du Journal 
de l’École Polytechnique, et applika aux lignes coordonnées (æ) 
et (y) supposées rectangulaires, nous aurons 
AS ô dx PAPA 
MED re RR’ 
ou bien, en nous rappelant la formule (7 bis) de la page 37 (Journal de 
l’École Polytechnique), 
(4) | s3 (=), ày he (=), dinde =. 
Intégrons les deux membres de cette égalité, en prenant pour limite un 
contour fermé quelconque, courbe où polygonal, tracé sur la surface ; nous 
obtiendrons facilement, en nous aidant de la formule (1), le résultat sui- 
vant qui est assez reniprqusble : « L'intégral: du quotient de l'élément 
d'une surface par le carré de la courbure, étendue à un contour quelconque, 
est égale à l'excès de la"somme des angles du contour sur autant de Jois 
deux droites qu'il y a de côtés, moins deux, augmenté de intégrale 
0 
[= = ds, étendue à tout le contour. Ce théorème, qui, du reste, se trouve 
de mon Mémoire de 1848, à la page 131, donne immédiatement une 
seconde formule de M. Liouville. En effet, supposons que les différents 
points de la surface soient rapportés à deux systèmes de courbes coordon- - 
nées quelconques, dont les ares soient toujours x et y, mais dont u et v 
représentent les paramètres; si l’on prend pour contour le parallélogramme 
infiniment petit, déterminé par les deux courbes (u) ét (u + du) du pre- 
mier système et les deux courbes (v) et (v + dv) du second système, w 
étant l'angle variable que font les courbes (u) et (v), nous aurons 
cos ÿ cos ÿ 
d. dr d. dy 
d'o ( p )t ( P F Joena sin o dx dy 
GER E MR E 
On reconnait sans peine la formule que M. Liouville a doma pour ditet 
miner la courbure d’une surface. 
» Pour rendre les formules (3) et (5) is propres aux applications, on 
peut se proposer d'y introduite les fonctions E, F, G de # et v, au moyen 
desquelles s'exprime l'élément de la surface; les nie de notre ancien 
travail permettent de faire immédiatement cette substitution, car on trouve 
