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trouver de combien de manières un nombre peut se décomposer en deux 
carrés. noA 
» Parmi les propriétés auxquelles j'ai été conduit par la manière dont | 
j'avais d’abord envisagé la question, je signalerai des relations fort remar- 
quables entre les nombres premiers de la forme 4n + 1 ou leurs composés 
et certains angles que je nomme leurs arguments, parce qu’en effet ils sont. : 
les arguments de leurs facteurs complexes. Je montre que les arguments 
des nombres premiers sont incommensurables entre eux et même qu'ils ne 
peuvent être liés par aucune relation linéaire et rationnelle. Il en résulte, 
comme corollaire immédiat, non-seulement que la circonférence est incom- 
mensurable avec les arcs dont la tangente est rationnelle (les multiples de. 
45 degrés exceptés), mais encore qu'aucun multiple de la circonférence ne 
peut être obtenu en combinant, par voie d’addition ou de soustraction; de 
pareils arcs lorsqu'ils sont des arguments de nombres premiers. On sait 
combien il est rare de pouvoir démontrer de semblables propriétés avec 
simplicité et rigueur : ici, par une heureuse exception, les raisonnements 
sont d’une grande facilité et n’exigent que la connaissance de choses fort : 
élémentaires. » a 
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — Généralisation de quelques théorèmes relatifs aux 
lignes trigonométriques et aux polygones réguliers; par M. É. PRouHEre 
(Extrait par l’auteur.) z 
( Commissaires, MM. Sturm, Lamé, Binet.) 
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« Les théorèmes dont il est ici question sont dus à M. Terquem, qui les 
démontrés dans le Journal de M. Liouville. Je suis parvenu à leur donner 
une grande extension, en modifiant un peu l'analyse employée par ce 
savant géomètre et en m’aidant d’un caractère donné par M. Fisenstein 
pour reconna tre lirréductibilité de certaines équations. a 
» Voici les principaux théorèmes démontrés dans ce Mémoire. 
mo aoo, z | a 
» — étant une fraction irréductible, et n n'étant aucun des nombres 
2, 3, 4 ou 6, aucune puissancé de tang 7 ou de sin Z n’est rationnelle. 
Le Lorsqu- un polygone régulier circonscrit n’est ni un triangle, ™ un 
carré, ni un hexagone, aucune puissance de son périmètre ou de sa 
ne peut s'exprimer par un nombre rationnel, le rayon du cercle étant p" 
pour l'unité. - bee 
