vom 30. Juli 1860. 471 



haben, aber im Allgemeinen nur für eine bestimmte Lage der 

 Fokalebenen. 



Wenn nun erstens in dem Punkte der Wellenfläche, in 

 welchem der Radius Vector eintrifft, dieselbe convex-convex 

 ist, also die Indicatrix eine Ellipse, und man dreht die erste 

 Fokalebene, von der Lage ausgehend, in welcher sie auf der 

 zweiten senkrecht steht, um den Radius Vector als Axe, so wird 

 der Winkel der beiden Fokalebenen kleiner und er erreicht ein 

 bestimmtes Minimum, für welches die beiden Fokalebenen so 

 liegen, dafs ihr Winkel von den auf einander senkrechten Fo- 

 kalebenen halbirt wird. Bezeichnet man den Winkel, um wel- 

 chen die erste Fokalebene von der angegebenen, anfänglichen 

 Lage aus gedreht wird, durch u und den Winkel der beiden 

 zusammengehörenden Fokalebenen durch 7, so findet der kleinste 

 Werth des 7 für 7 = 2« Statt. 



Zweitens, wenn die W r ellenfläche in dem Endpunkte des 

 betreffenden Radius Vectors convex-concav ist, also die Indika- 

 trix eine Hyperbel, und man dreht die erste Fokalebene von 

 der Lage aus, in welcher die zweite auf ihr senkrecht steht, so 

 wird der Winkel 7 der beiden Fokalebenen kleiner und er- 

 reicht in einer bestimmten Lage den Werth Null, geht man 

 über diese Lage hinaus, so wächst der Winkel 7 wieder bis 

 90°, und nimmt alsdann noch ein zweites Mal bis Null ab. Die 

 beiden Lagen der Fokalebenen, für welche 7 = ist, entspre- 

 chen den Richtungen der unendlich grofsen Krümmungshalb- 

 messer auf der Wellenfläche, oder was dasselbe ist den Rich- 

 tungen der Asymptoten der hyperbolischen Indikatrix. Da die 

 Hyperbel aufser ihren realen conjugirten Durchmessern auch 

 imaginäre conjugirte Durchmesser besitzt, so folgt, dafs für die- 

 jenigen Richtungen, in welchen der Radius Vector in einen 

 convex- concaven Theil der Wellenfläche eintrifft, auch die un- 

 endlich dünnen Strahlenbündel der dritten Art, mit imaginären 

 Fokalebenen, wirklich Statt haben. 



Ist das durchsichtige Mittel ein einfach brechendes, also die 

 Wellenfläche desselben die Kugeloberfläche, so sind alle Indi- 

 katrices derselben Kreise, folglich alle conjugirten Richtungen 

 nur auf einander senkrecht, und da die Radii Veetores hier 

 überall senkrecht auf der Wellenfläche stehen, so folgt, dafs 



