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Setzt man r = 3, so erhält man die vollständige Lösung des 

 Problems der reciproken Polaren, oder des Problems, die Glei- 

 chung einer Curve in Liniencoordinaten auszudrücken. Dasselbe 

 erfordert nur die Aufstellung der Bedingung, unter welcher 

 eine Gleichung zwei gleiche Wurzeln hat. Diese Bedingung 

 ist mir aufserdem in einer neuen Form aufzustellen gelungen, 

 welche ohne weiteres die gesuchte symbolische Form giebt, so 

 dafs man das vorliegende Problem als principiell erledigt an- 

 sehen kann. 



Eine Anwendung auf die Curven vierter Ordnung zeigt, 

 dafs dieselben auf die Gleichung in Linien-Coordinaten: 



J> 3 — 3£ z =0 

 führen. Hier ist P vom vierten Grade in Bezug auf die Grö- 

 fsen w, vom zweiten in Bezug auf die ursprünglichen Coefficien- 

 ten; ebenso ist Q respective vom 6ten und 3ten Grade. Die 

 vorliegende Curve I2ter Klasse, welche jedoch nicht als durch- 

 aus identisch mit der gegebenen Curve vierter Ordnung gelten 

 kann, sondern aufser dieser noch andere Zweige enthält, hat 

 überall einen Rückkehrpunct, wo die gegebene Curve einen 

 Wendepunct hatte; und in diesen 24 Puncten werden beide 

 Zweige noch von der Curve (? = berührt, welche in mannig- 

 facher Hinsicht merkwürdig ist. Sämmtliche Tangenten von 

 Q = o schneiden die gegebene Curve in vier harmonischen Punc- 

 ten; sämmtliche Dreiecke, in welche die Determinanten der Po- 

 laren irgend welcher Puncte sich auflösen können, berühren mit 

 allen Seiten diese Curve, während die Ecken dieser Dreiecke, 

 so wie die zugehörigen Pole eine andere Curve vierter Ordnung 

 S = durchlaufen. Und zwar ist auf diese Weise jeder Punct 

 von ^ = eine Ecke von drei Dreiecken, deren Pole wieder die 

 Ecken des zu jenem Punct selbst, als Pol, gehörigen Dreiecks 

 bilden. — Die Wendetangenten der gegebenen Curve sind die 

 gemeinschaftlichen Tangenten von (? = und P = 0; und wenn 

 man aus diesen beiden Gleichungen und der Gleichung 



u t x x -+- u 2 x 2 •+■ u 3 x 3 = 

 die Gröfsen u eliminirt, was ohne Schwierigkeit geschehen 

 kann, so erhält man das Product der Gleichungen der 24 Wende- 

 tangenten, und, wenn man etwa u 3 verschwinden läfst, eine 

 Gleichung des 24ten Grades zur Bestimmung derselben. — Es 



