vorn 25. October 1860. 539 



glebt bekanntlich 24 Punkte, deren Polaren, in Bezug auf die 

 Curve vierter Ordnung genommen, einen Riickkehrpunkt haben. 

 Die Rückkehrtangenten dieser Polaren sind ebenfalls Tangenten 

 von (? = 0, und berühren zugleich eine andere Curve vierter 

 Klasse S2 = von merkwürdigen Eigenschaften. 



Auch in Bezug auf die Doppeltangenten der Curven vierter 

 Ordnung bietet die obige Darstellungsweise der Curven durch 

 Liniencoordinaten eigenthümliche Gesichtspuncte. Man kann ein 

 System von Curven zehnter Classe angeben, welches die Dop- 

 peltangenten der Curve vierter Ordnung zu gemeinschaftlichen 

 Doppeltangenten hat. 



Setzt man in der obigen allgemeinen Betrachtung r = 4, so 

 erhält man das Problem, eine Oberfläche in Ebenencoordinaten 

 auszudrücken. Dasselbe kommt demnach zurück auf die Auf 

 Stellung der Bedingung, unter welcher eine Curve einen Doppel- 

 punct hat. Für den Fall der Oberfläche dritter Ordnung wird 

 man auf diese Weise auf die Gleichung in Ebenencoordinaten 



T 2 — 2 3 = o, 

 geführt, wo T in Bezug auf die Veränderlichen, so wie in Bezug 

 auf die ursprünglichen Coefficienten von der 6ten, X in beiden 

 Beziehnngen von der vierten Ordnung ist. Die Fläche sechster 

 Classe T = wird von allen denjenigen Ebenen umhüllt, deren 

 Schnittcurve mit der gegebenen Fläche zu ihrer Determinante 

 in der Wechselbeziehung steht, dafs jede von den W T endelan- 

 genten der andern berührt wird; und die Fläche vierter Classe 

 X = von allen denjenigen Ebenen, bei deren Schnittcurven mit 

 der gegebenen Fläche die Wendetangenten sich zu dreien in 

 drei Puncten schneiden. Die gemeinschaftlichen Tangenten- 

 ebenen von 2=0 und T = berühren die gegebene Fläche In 

 der Wendecurve, in welcher dieselbe von ihrer Determinante 

 geschnitten wird. Die Gleichung in Ebenencoordinaten T 2 — X 3 = 

 stellt eine Fläche 12ter Klasse dar, welche aufser der gegebenen 

 Fläche dritter Ordnung noch einen anderen Theil enthält, und die- 

 ser letztere hat längs eben jener Wendecurve sowohl mit der gege- 

 benen Fläche 3ter Ordnung, als mit derFläche T=o eine Berührung. 



Ein noch allgemeineres System von Gleichungen als das 

 eben betrachtete, erhält man, wenn man die Differentialquotien- 

 ten einer homogenen Function reter Ordnung von x i9 x 2 . .-. x r 



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