﻿vom 14. Januar 1869. 49 



Hr. Borchardt legte aus einer vom 4ten Januar datirten 

 und ihm zur Veröffentlichung im Journal für die reine und an- 

 gewandte Mathematik von Hrn. Lipschitz in Bonn zugesand- 

 ten Abhandlung Untersuchungen in Betreff der ganzen 

 homogenen Functionen von n Differentialen folgenden 

 Auszug vor 1 ): 



Eine Function von den n independenten Variabein a? 1} #2> 

 . . . x n und deren ersten Differentialen dx x , dx 2 , ... dx n , 

 welche die independenten Variabein in beliebiger Weise enthält, 

 in Bezug auf die Differentiale aber rational, ganz, homogen 

 und vom pten Grade ist, kann aufgefafst werden als eine al- 

 gebraische Form des pien Grades von den n Differentialen 

 dx x , dx 2 , • •• dx n , deren Coefficienten von den Variabein j? n 

 x$ , . . . x n abhängen. Eine solche Form f(dx) geht durch die 

 Einführung eines beliebigen Systems von independenten neuen 

 Variabein y x , y 3 , . . . y n in eine Form g(dy) von entsprechen- 

 den Eigenschaften über. Demgemäfs darf man zwei gegebene 

 Formen f(dx) und g(dy) als zu derselben Classe oder zu ver- 

 schiedenen Classen gehörig betrachten, je nachdem die eine in 

 die andere in der angegebenen Weise transformirt werden kann 

 oder nicht, und in dem entsprechenden Sinne auch die übrigen 

 Grundbegriffe ausdehnen, die in der Theorie der Transforma- 

 tion der homogenen ganzen Functionen ausgebildet sind. Un- 

 ter den Formen f(dx) nehmen diejenigen Formen eine ausge- 

 zeichnete Stellung ein, deren Coefficienten von den Variabein 

 x a , wo der Zeiger a von 1 bis n läuft, unabhängig oder, kür- 

 zer, constant sind. Jede Form von dieser besonderen Beschaf- 

 fenheit hat nämlich die Eigenschaft, durch eine Substitution, 

 bei welcher die neuen Variabein lineare Functionen der ur- 

 sprünglichen Variabein sind, in eine Form von derselben Be- 

 schaffenheit verwandelt zu werden, und dadurch kommt die bis- 

 her entwickelte Theorie der Transformation der homogenen 



*) Die von mir in der vorigen Sitzung vorgelegten Untersuchungen 

 des Hrn. Christof fei und die hier folgenden des Hrn. Lipschitz, 

 welche sich beide mit derselben Gattung von Problemen, wenn auch in 

 verschiedenem Grade der Allgemeinheit, beschäftigen, sind gleichzeitig 

 und unabhängig von einander angestellt worden. 

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