﻿50 Gesammtsitzung 



ganzen Functionen durch lineare Substitutionen unmittelbar zur 

 Anwendung. Ich habe nun gesucht, die Bedingungen zu er- 

 mitteln, welche darüber entscheiden, ob eine gegebene Form 

 von n Differentialen, deren Coefficienten von den Variabein ab- 

 hängen, in eine Form mit constanten Coefficienten transformirt 

 werden könne, oder nicht, und theile die hauptsächlichsten Re- 

 sultate dieser Arbeit gegenwärtig mit. 



Wenn der Grad der gegebenen Form f(dx) der erste ist, 

 so bemerkt man, dafs eine Form mit constanten Coefficienten 

 gleich dem Differential einer linearen Function der Variabein 

 ist. Die aufgestellte Frage wird daher durch die Bedingungen 

 der Integrabilität beantwortet, welche man wie folgt zusammen- 

 fassen kann. Es sei die Form des ersten Grades 



f(dx) = üxdx^ -h a 2 dx-i -+-... -f- a n dx n , 



und durch Verwandlung des Zeichens d in b bei den Differen- 

 tialen gehe f(dx) in /(&#) über. Dann hat die in Bezug auf 

 die Grössensysteme dx a und &x b bilineare Form 



«/(<**) - Ä) = 2 (^ -5~) ***** . 

 a,l> v Xf} o x a / 



wo die Zeiger et und fc beide von 1 bis n gehen, die Eigen- 

 schaft, bei einer Substitution neuer Variäbeln sich mit f(dx) 

 so zu ändern, dafs die Beziehung zu dieser Form ungeändert 

 bleibt, und wird dadurch das Analogon einer Covariante. Diese 

 bilineare Form verschwindet ferner dann und nur dann, wenn 

 die Form f(dx) in eine Form mit constanten Coefficienten 

 transformirt werden kann. 



Wenn der Grad p der gegebenen Form f{dx) die Einheit 

 übertrifft, so mache ich die Einschränkung, dafs die Determi- 

 nante A, deren Elemente die zweiten partiellen Differentialquo- 



3 2 f(dx) 



tienten —^ — — sind, nicht identisch verschwinde, und lafse 



3 dx a d dxb 



die Voraussetzung, dafs die Coefficienten der Form f(dx) nach 



den Variabein x a partiell differentiirt werden können, die auch 



in dem Falle p = 1 stillschweigend galt, bestehn. In dem Falle 



p = 2 hängt das Wesen der Form f(dx) sehr genau mit einem 



Problem der Variationsrechnung zusammen. Dieses Problem 



