﻿vom 14. Januar 1869. 53 



Umgekehrte gilt, habe ich durch eine Zurückführung auf das 

 angegebene indirecte Criterium bewiesen. 



Für eine quadratische Form von n Differentialen stimmt 

 die beantwortete Frage in ihrem Wesen mit einer Frage über- 

 ein, die in der aus Riemann's Nachlasse publicirten Abhand- 

 lung über die Hypothesen, welche der Geometrie zu 

 Grunde liegen, erörtert ist. Daselbst wird untersucht, wann 

 eine wesentlich positive Form von n Differentialen in das Ag- 

 gregat der Quadrate von den Differentialen der neuen Variabein 

 transformirt werden könne. Es ist aber klar, dafs, sobald eine 

 gegebene Form f(dx) in eine Form mit constanten Coefficien- 

 ten transformirt ist, die fernere Transformation in ein Aggre- 

 gat von den Quadraten der Differentiale neuer Variabein im- 

 mer durch eine lineare Substitution bewirkt werden kann, und 

 zwar bei wesentlich positiven Formen auf reelle Weise. Die 

 Riemann'schen Criterien, wenn ich dieselben richtig aufgefafst 

 habe, setzen die Integration des oben bezeichneten Systems von 

 isoperimetrischen Differentialgleichungen voraus, sobald die Zahl 

 n die zwei übertrifft, sind aber auch von dem angeführten in- 

 directen Criterium wesentlich verschieden. 



Reducirt sich die Zahl der Variabein x a auf zwei, so ist 

 die betreffende .Frage in den disquisitiones generale s 

 circa superficies curvas durch Gauss beantwortet. Das 

 Quadrat des Linearelements einer beliebigen Fläche, in den in- 

 dependenten Variabein x x und x 2 ausgedrückt, ist eine wesent 

 lieh positive Form von den Differentialen dx x und dx 2 



f(dx) = a 11 dx\ -h 2a h2 dx 1 dx 2 -+- a 2 ^dx^ . 



Die Bedingung dafür, dafs dieselbe in die Form dy\ -+- dyl 

 transformirt werden könne, ist das Verschwinden des Gaussi- 

 schen Krümmungsmafses k. Nun besteht aber zwischen dem 

 der Form f(dx) zugehörigen Ausdrucke von k und der qua- 

 drilinearen Form ¥ für n =. 2 die einfache Beziehung 



Y = — 2kA(du 1 $u 2 — §u 1 du 2 ) (dXi $x 2 — $Xidx 2 ). 



Also geht das Criterium der quadrilinearen Form in diesem 

 Falle in das Criterium des Krümmungsmafses über. 



