﻿vom 7. Januar 1869. 3 



unmittelbar nicht die direkte, sondern die transponirte Substi- 

 tution zu liefern. 



Ohne diese Betrachtungen weiter zu verfolgen, sieht man 

 nun ohne Weiteres ein, weshalb die quadratischen Differential- 

 formen sich der allgemeinen Behandlung entziehen; der Grund 

 hiervon liegt darin, dafs die algebraische Invariantentheorie für 

 dieselben nur eine zugehörige Form liefert, also ohne Hin- 

 zuziehung der Integrabilitätsbedingungen nicht die Mittel ge- 

 währt, um die Hauptsubstitution durch das Resultat derselben 

 zu bestimmen. 



Ich habe daher den Fall p = 2 für beliebige Werthe von 

 n behandelt, mich dabei jedoch auf die Voraussetzung beschränkt, 

 dafs die Determinante von F nicht identisch = o ist. Im Ver- 

 laufe dieser Untersuchung, welche im Journal des Herrn Bor- 

 chardt erscheinen wird, trennen sich zwei verschiedene Fälle 

 von einander, indem sich als Hauptfall derjenige herausstellt, 

 in welchem das Resultat der Transformation die anzuwendende 

 Substitution völlig bestimmt, während demselben Ausnahmefälle 

 zur Seite stehen, in denen es stetige Variationen der Substitu- 

 tion gibt, welche F' ungeändert lassen. Zu diesen gehört z. B. 

 der Fall, wo j/jF das Linienelement einer in sich selbst ohne 

 Dehnung verschiebbaren Oberfläche ist, und es ist aufserdem 

 zu bemerken, dafs diese Ausnahmefälle nicht blofs für p = 2, 

 sondern auch für alle übrigen Ordnungen zu berücksichtigen 

 sind. 



Für die dem Hauptfalle entsprechenden quadratischen Dif- 

 ferentialformen finde ich nun das merkwürdige, und aus der 

 Natur der Sache keineswegs im Voraus zu erwartende Resul- 

 tat, dafs alle Bedingungen für die Möglichkeit der Transfor- 

 mation von F in F\ sowohl was die Hauptsubstitution, als 

 was die zu ihr gehörigen Integrabilitätsbedingungen betrifft, sich 

 ohne Ausnahme als Gleichungen zwischen Invarianten der 

 Formen F und F' darstellen lassen, wenn dieser Ausdruck 

 zur Bezeichnung der gleichen Formverhältnifse wie in der Al- 

 gebra angewandt wird, und dafs auch hier zugehörige Formen 

 und Co Varianten in derselben Bedeutung, wenn auch aus ganz 

 anderer Quelle auftreten, wie bei den analogen algebraischen 

 Transformationsproblemen. 



