﻿2 Gesammtsitzung 



einander unabhängiger Functionen der neuen Variabein x\ , x\ , 

 . . x' n einführt, so erhält man einen neuen Differentialausdruck: 

 F' von gleicher Ordnung und Dimension, welcher aus dem 

 ursprünglichen auch durch zwei successive Substitutionen er- 

 halten werden kann, nämlich dadurch, dafs man 1) die Diffe- 

 rentiale dx durch eine in den dx' lineare Substitution transfor- 

 mirt, und alsdann 2) in den Coefficienten F M „ selbst eben 



falls von den ursprünglichen zu den neuen Variabein übergeht. 

 Jene lineare Substitution nenne ich im Folgenden die Hauptsub- 

 stitution. 



Sind nun umgekehrt zwei Differentialausdrücke F und F' 

 von gleicher Ordnung und Dimension gegeben, so kann man 

 sich ebenso wie in der Invariantentheorie die Frage vorlegen, 

 unter welchen Bedingungen F in F' transformirt werden kann 

 und falls dies möglich ist, welche Substitution die verlangte 

 Transformation leistet. 



Unter den verschiedenen Fällen, welche sich hier darbie- 

 ten, verdienen die Differentialausdrücke zweiter Ordnung beson- 

 dere Aufmerksamkeit, sowohl wegen der wichtigen Probleme, 

 in denen sie vorkommen, als auch weil sie den Differential- 

 ausdrücken höherer Ordnungen gegenüber einen Ausnahmefall 

 bilden. 



Wenn nämlich p > 2 ist, so liefert die Invariantentheorie 

 unter der Voraussetzung, dafs blofs die Hauptsubstitution ausge- 

 führt wird, einerseits eine Anzahl von Bedingungsgleichungen 

 für die Möglichkeit der Transformation, und andererseits mit- 

 telst der, bis auf besondere Fälle stets in der normalmäfsigen 

 Anzahl vorhandenen zugehörigen Formen völlig bestimmte Wer- 

 the für die Coefficienten in der Hauptsubstitution. Damit sind 

 aber nicht alle Bedingungen für die Möglichkeit der Transfor- 

 mation von F in F' gewonnen, sondern es wird nun eine 

 zweite Untersuchung nöthig, die Bedingungen betreffend, damit 

 die aus den zugehörigen Formen hervorgehenden Ausdrücke für 

 dx! , dx 2 • • dx n auch, wie erforderlich, die vollständigen Diffe- 

 rentiale der ursprünglichen Variabein werden. Für diese Un- 

 tersuchung bilden die zugehörigen Formen selbst die Grundlage, 

 und zwar genau wegen der bekannten Eigenschaft derselben, 



