﻿vom 4. März 1869. 161 



IL 



Es soll jetzt noch vorausgesetzt werden, dafs sämmtliche 

 %n(n-\-i) Linien, welche aus dem Functionen-Systeme F auf 

 die angegebene Weise entstehen, geschlossene Linien seien und 

 dafs die Anzahl der durch je n Gleichungen F = bestimmten 

 Punkte endlich sei. Betrachtet man nun die Linie [hk] in dem 

 durch dieses Zeichen fixirten Sinne des Fortgangs an denjeni- 

 gen Stellen, wo sie die (n — l) fache Mannigfaltigkeit F h = o 

 schneidet, so tritt dieselbe dort — wenn nicht zugleich F k = 

 ist — aus einem Bereiche wo F h -F k negativ ist in einen sol- 

 chen wo F h -F k positiv ist, oder umgekehrt. Insofern man den 

 ersteren Bereich als einen inneren, den letzteren als einen äus- 

 seren bezeichnen kann, wird darnach eine Schnittstelle von 

 [hk] mit F h = o als ein Austritt oder als ein Eintritt der Linie 

 [hk] aufzufafsen sein; und diese auf das Fortgangsprincip ge- 

 gründete Auffassung ist, wie sich zeigen wird, von der wesent- 

 lichsten Bedeutung für die naturgernäfse Interpretation analyti- 

 scher Beziehungen. — Die Gesammtzahl der Ein- und Aus- 

 tritte ist eine grade Zahl; wenn man also von der Anzahl der 

 Eintritte die der Austritte subtrahirt, so ist die Hälfte der so 

 gebildeten Differenz eine ganze Zahl, die positiv oder negativ 

 oder auch Null sein kann. Von dieser Zahl gilt das Funda- 

 mentaltheorem, dafs dieselbe constant ist, wie man auch die 

 Indices h und k auswählen mag; die Zahl ist demnach für das 

 ganze Functionen-System charakteristisch und soll darum die 

 „Charakteristik" desselben genannt werden. 



Die hier betrachteten Ein- und Austrittsstellen der verschie- 

 denen -Jw(n-{-l) Linien des Functionen-Systems können auch 

 als die gemeinsamen Punkte von je n Functionen F angesehen 

 werden. Jeder dieser Punkte gehört also einem Systeme von 

 nur n nach Weglassung irgend eines F k übrig bleibenden Func- 

 tionen an. Nimmt man nun zu diesen n Functionen an Stelle 

 von F k eine" andere Function % k hinzu, welche die Eigenschaft 

 hat, dafs sie nur für einen einzigen der durch : 



F = F Y = = F k _ x = F k+1 = = F n = o 



bestimmten Punkte negativ für alle andern aber positiv ist, so 

 ist die Charakteristik dieses neuen Systems von (n-f-l) Func- 



12* 



