﻿166 Gesam m tsitzung 



IV. 



Wenn F , F t , F n ganze rationale Functionen der n 



Variabein z sind, so läfst sich auf dieselben mit Hilfe der von 

 mir im Monatsberichte vom December 1865 aufgestellten Inter- 

 polationsformel ein der Kettenbruchs-Entwickelung analoges 

 Verfahren anwenden. Die durch dasselbe gelieferte Reihe von 

 Functionen bildet die Verallgemeinerung der Sturmschen Reihe 

 und kann zur Ermittelung der Charakteristik des Systems F 

 dienen. Um dies an dem einfachsten Falle zu zeigen, sei 

 z x = x , z 2 === y und zuvörderst: 



F* = V , Fi = f(x) — y , F 2 =/! (x)-y , 



wo /und f x ganze Functionen resp. vom Grade 2v und (2v — l) 

 bedeuten, in denen die Coefficienten der höchsten Potenzen von 

 x positiv sind. Bildet man nun in bekannter Weise durch die 

 Kettenbruchs-Entwickelung des Quotienten der beiden Functionen 

 / und f x eine Sturmsche Reihe: 



/O) j fx (*) > / 2 00 , 



so kann der Verlust an Zeichenwechseln, den diese Reihe beim 

 Übergange von x = — o= bis x = + oo erleidet, auf Grund 

 der obigen Auseinandersetzungen in einfacher und anschaulicher 

 Weise gedeutet werden; dieser Verlust ist nämlich genau — 

 auch dem Zeichen nach — mit der Charakteristik des Systems 

 (F , F x , F 2 ) übereinstimmend. Wenn ferner / mit f x von 

 einem und demselben, / — f x aber von niedrigerem Grade ist, 

 und man bildet die Sturmsche Reihe: 



/W > /(*) — /i W > AM i 



und setzt darin für x zuerst irgend einen Werth a und nachher 

 einen gröfseren Werth 5, so ist die Differenz der Anzahl der 

 Zeichenwechsel — vorausgesetzt dafs alle Zeichenwechsel mit 

 Ausnahme eines zwischen den ersten beiden Gliedern doppelt 

 gezählt werden — gleich der Differenz der Charakteristiken 

 der beiden Systeme: 



(y.(x — a),f(x) — y, f x (x) — y) , (y.(x — b), f(x) — y,f x (x)— y). 



