﻿vom 4. März 1869. 183 



In gleicher Weise kann also für den speeiellen in den Ab- 

 schnitten IX und X behandelten Fall von Functionen complexer 

 Variabein der Ausdruck: 



-m 



SD, 



dw 



(s//)' 



als Definition des Charakters eines Punktes gelten ; d. h. das Inte- 

 gral (Z)) giebt an, wie vielfach ein Werthsystem (rn >!*?*, '. • r m ) 

 zu rechnen ist, welches den Gleichungen: 



/l 0h>l2j-*?m)_=0 5 f* fol >*\ 2 >•» >?m)F=Ö ,.J/ m (*7i, 15 2v-r m )= ° 



genügt, sobald die Integration über eine (n — 1) fache Mannig- 

 faltigkeit: jP == erstreckt wird, für welche der Bereich F < 

 nur jenen einzigen Punkt (y,) enthält. 



Die Formel (C) bleibt anwendbar, wenn die Gleichungen 

 / = aufser für discrete Punkte *j auch noch für eine einfache 

 oder mehrfache Mannigfaltigkeit von Punkten erfüllt sind; nur 

 mufs dann die Begrenzung F so gewählt werden, dafs jene 

 Punktfolgen von dem Bereiche F < ausgeschlossen bleiben. 

 Wenn nun in diesem Falle F zugleich so bestimmt wird, dafs 

 der Bereich F <C die sämmtlichen discreten Punkte r, enthält, 

 so wird die Anzahl derselben durch das Integral (D) ausge- 

 drückt. Man könnte deshalb von einer genaueren Discussion 

 dieses Integrals vielleicht einigen Aufschlufs sowohl über die 

 eben erwähnten bemerkenswerthen Fälle erwarten als über die- 

 jenigen, wo eine Multiplicität von Punkten auftritt, Fälle welche 

 selbst für algebraische Gleichungs- Systeme bisher noch wenig 

 erörtert worden sind. Aber es ist nicht zu verkennen, dafs 

 die Ermittelung des Werthes jenes Integrals (D) für die be- 

 zeichneten Fälle Schwierigkeiten darbietet, die eben mit der 

 allgemeinen Gültigkeit desselben untrennbar verbunden sind. 

 Diefs erhellt schon aus dem Umstände, dafs sämmtliche hier 

 betrachteten Integrale eine ganz andere Form annehmen, wenn 

 man für die Gleichungssysteme: F k = oder f k = andere aber 

 aequivalente nimmt, d. h. solche, welche genau dieselben Punkte 

 £ oder y, (sammt deren Charakter) bestimmen, während natür- 

 lich die Integrale ihrem Werthe nach dabei unverändert bleiben 



