﻿vom 4. März 1869. 185 



Eine an sich betrachtete oder (nach Riem an n) ebene e fache Man- 

 nigfaltigkeit hat als Element das Product der Elemente der v Va- 

 riabein d. h. also das Product der Elemente der v einfachen 

 Mannigfaltigkeiten aus denen die v fache hergeleitet ist. Man 

 kann nun kurzweg die für die Auswerthung jener Begrenzungs- 

 Integrale erforderliche Transformation dahin charakterisiren, dafs 

 durch dieselbe die ausgesonderte (n — l) fache Mannigfaltigkeit: 

 F = o auf eine an sich betrachtete oder ebene (n — l) fache 

 Mannigfaltigkeit eindeutig bezogen und in dieselbe transformirt 

 werden mufs. Die Möglichkeit einer solchen Transformation 

 geht unter Anderm aus folgenden Betrachtungen hervor. 



Wenn man den Polarcoordinaten entsprechend für die Va- 

 riabein z die durch die Gleichungen: 



r.w, =s z x — Z y , r.u 2 = z 2 — Z 2 , , r.u n = z n — Z n 



u\-\-u\-+- -4- w* = t 



definirten neuen Variabein: r, Wj , u 2 , u n einführt, wo r 



positiv zu nehmen und unter (Z x , Z 2 , Z n ) irgend ein 



fixirter Punkt (z) zu verstehen ist, so kann bei dieser Trans- 

 formation die Gleichung: F =*= den Radius Vector r als ein- 

 deutige Function der Veränderlichen u bestimmen. In diesem 

 Falle soll der Bereich: F < ein „Bezirk" des Punktes Z 

 (oder in Beziehung auf den Punkt Z) heifsen. Da die n Va- 

 riabein u eindeutig durch (n — l) Variabein ausdrückbar sind, 

 überdiefs auch jede einfache Folge von Werthen einer Variabein 

 x zwischen beliebigen Grenzen: 



a b 



a! b' 



durch eine Substitution — z. B. indem: 



_ ae-y + be+y 



x ~~ ä^-'y-hb'e+y 



gesetzt wird — eindeutig in die gesammte unendliche Werth- 

 folge der Variabein y zu transformiren ist, so leuchtet ein, dafs 

 sobald nur F < für irgend einen Punkt Z einen „Bezirk" 

 bildet jedes über die (n — l) fache Mannigfaltigkeit F = o zu 



