﻿vom 4. März 18G9. 187 



den Sturm'schen Entwicklungen zu Grunde liegende Ketten- 

 bruehs -Verfahren selbst zu verallgemeinern und nachdem diefs 

 geschehen war die dadurch erhaltenen allgemeineren Resultate 

 naturgemäfs zu interpretiren. Ich wurde hierbei auf jene Be- 

 trachtungen geführt, welche den Inhalt der ersten vier Ab- 

 schnitte vorliegender Notiz bilden, und welche ich damals in 

 mündlichen Unterhaltungen meinem Freunde Weierstrass mit- 

 theilte. Dabei wurde ich von ihm angeregt unter den erlangten 

 neuen Gesichtspunkten den Gegenstand meiner Untersuchung 

 weiter und namentlich in derjenigen Richtung zu verfolgen, in 

 welcher nicht blofs eine Ausdehnung des Sturm'schen sondern 

 auch des Cauchy'schen Satzes erhalten würde. Die Arbeiten 

 welche ich darauf hin unternommen und die Resultate welche 

 ich dabei erlangt habe finden sich in den Abschnitten V bis X 

 auseinandergesetzt und zwar im Wesentlichen in derselben Rei- 

 henfolge, wie sie sich mir bei der Untersuchung ergeben haben. 

 Ich habe diese genetische Darstellung sowohl in der vorliegen- 

 den auszugsweisen Mittheilung als auch in der den Denk- 

 schriften vorbehaltenen ausführlichen Abhandlung gewählt, weil 

 dadurch die Einsicht in den Zusammenhang der verschiedenen 

 Resultate erleichtert wird; aber ich darf nicht unerwähnt lassen, 

 dafs man auf kürzerem und einfacherem Wege zur nachträg- 

 lichen Verification einiger der gefundenen Resultate gelangen 

 kann. Die hierbei anzuwendenden Methoden stützen sich zu- 

 meist auf die partielle Integration vielfacher Integrale und 

 deren Variation nach den Grenzen. Ich will die bezüglichen 

 Formeln defshalb hier am Schlüsse noch aufstellen, zumal die- 

 selben auch bei denjenigen Methoden benutzt werden müssen, 

 welche ich in der vorliegenden Notiz angedeutet habe. 



Wenn P, Q , Q (1) , Q (2) , Q (n) reelle eindeutige und 



im Allgemeinen stetige Functionen der n Variabein z bedeuten 

 und deren Ableitungen nach den einzelnen Variabein durch 

 Anfügung entsprechender unterer Indices bezeichnet werden, 

 so hat man folgende Formel für die partielle Integration: 



(1) f2P k QWdv+fP.2QPdv=fP.2Q™.z$ p dw . 



Die Summationen sind hier überall von k = l bis k — n zu er- 

 strecken. Für die beiden auf der linken Seite stehenden n fachen 



