﻿vom 4. März 1869. 191 



Das innerste dieser beiden Integrale stellt nach Abschnitt V die 

 Charakteristik des Systems von Functionen der Variabein £: 



(17, , 6,,-J, , f 2 — JF 2 , tn-K) 



multiplicirt mit: — tu dar, und diese Charakteristik ist offenbar 

 Eins oder Null je nachdem 



U {F l ,F 2 ,...F n ) 



einen negativen oder einen positiven Werth hat. Das in Rede 

 stehende Integral mit dem Element dw' übernimmt also bei 

 der weiteren Integration nach dv die Rolle eines discontinuir- 

 lichen Factors und schliefst alle diejenigen Werthsysteme z 

 aus, für welche U (F) > ist, so dafs endlich aus der Glei- 

 chung (6) die bemerkenswerthe Formel: 



(7) fjll(£)dv' = - wf$.A .dv 



resultirt. Die Integration ist hierbei links auf das Gebiet 

 C^oCfi > ?2 » ■• • - £n) < ° un( i rechts auf alle diesen Punkten £ 

 entsprechenden Punkte z zu erstrecken, während die Beziehung 

 der Mannigfaltigkeiten £ und z zu einander durch die Glei- 

 chungen: 



&t Ä F*(*i;*tjf ■•"•"> 4) (fc = 1,2, n) 



definirt wird. 



Die im Abschnitte VI aufgestellte fundamentale Gleichung 

 (9Q kann als Grenzfall der Formel (7) betrachtet werden, wenn 

 nämlich das durch U < definirte Gebiet auf die unmittelbare 

 Umgebung des Punktes (J* = o) eingeschränkt wird. Da die 

 Formel (7) nicht blofs auf einfacherem Wege zu erlangen ist 

 sondern auch ohne die Voraussetzung, dafs Ableitungen der 

 Function % existiren, so würde es durchaus vortheilhaft er- 

 scheinen die Formel (7) zur Begründung der Gleichung (%) 



zu benutzen. Aber es ist dabei nöthig entweder wie es bei 



der obigen Herleitung der Formel (7) geschehen ist — die Exi- 

 stenz der zweiten Differentialquotienten von ü(£) von vorn 

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