﻿vom 5. August 1869. 689. 



gebildete Determinante und mit: S gh die „Null" oder die 

 „Eins", je nachdem g%h oder g = h ist. Alsdann ist die 

 Charakteristik des Systems: (-F 00 , F 01i F 02 , . . . F 0n ) durch: 



(K) -i/|^| 



S n+1 



ausgedrückt. In der Determinante unter dem Integralzeichen 

 nehmen die Indices g und h alle Werthe von bis n an, und 

 F Qh sowohl als F h0 übereinstimmend mit F h bedeutet die Ab- 

 leitung von F nach z h , während mit F gh , wenn g und h von 

 Null verschieden sind, die Ableitung von F g nach z h oder also 

 die zweite Ableitung von F nach z g und z h bezeichnet ist. 

 Scheidet man sämmtliche Werthsysteme (z), welche den Be? 

 dingungen: 



■^o < ° » *ii = -*02 = • • • = -^o» = ° 



genügen, in zwei Gattungen, je nachdem die Hessische Determi- 

 nante von F einen positiven oder negativen Werth erhält, so 

 giebt das Integral (K) nach der Bedeutung des Wortes „Cha- 

 rakteristik" den Überschufs der Anzahl von Werthsystemen 

 erster Gattung über die der zweiten an. Andrerseits hat aber 

 für die Fälle n = 2 und 3 das Integral (K) eine bekannte geo- 

 metrische Bedeutung und es bedeutet namentlich für n = 3 die 

 über die ganze geschlossene Fläche: F = ausgedehnte „cw- 

 vatura integra", durch 4tt dividirt; es ist also hiermit die 

 Übereinstimmung der ^curvatura integra" und der mit 4 7r mul- 

 tiplicirten Charakteristik des Systems: (F , F Q1 , F 02 , F 03 ) er- 

 wiesen und dadurch auch eine einfache Methode für die Be- 

 stimmung der totalen Krümmung einer beliebigen geschlossenen 

 Oberfläche gewonnen. 



Die Untersuchung des obigen Integrals der Charakteristik 

 eines Systems: (F , F 01 , F 02 , . . . F Qn ) hat mich darauf geleitet, 

 die Theorie der Krümmung auf Functionen von n Variabein zu 

 übertragen. Dabei habe ich gefunden, dafs die für Oberflächen 

 gebräuchlichen Betrachtungen sich in sehr einfacher und ele- 

 ganter Weise verallgemeinern lassen und dafs die bekannten 

 analytischen Resultate durchaus erhalten bleiben, wenn man 



