156 Sitzung der physiJcaliscJi-matJiematischen Klasse 



Den Kernpunkt der ganzen Entwickelung bildet folgender Satz : 

 „Ist F(x) eine ganze ganzzahlige Function von x und be- 

 deutet i'p in der auf alle Primzahlen jj ausgedehnten Summe 



die Anzahl der (gleichen oder verschiedenen) Wurzeln der 

 Congruenz F{x)^0 mod.p, so wird der Grenzwerth jener 

 Reihe für unendlich kleine positive Werthe von 2v propor- 

 tional log — und zwar gleich log — multiplicirt mit der 



w ^ w 



Anzahl der irreductibeln Factoren von F{x).^ 



Für irreductible Functionen ist also der Grenzwerth der Reihe log — 



selbst, und hieraus ergiebt sich eben unmittelbar jener Werth der 

 Reihe für beliebige Functionen F{x). Da v^ nur die Werthe 

 0, 1, 2, ... n haben kann, wenn n den Grad von F{x) bezeichnet, 

 so ist jene Reihe in n Partialreihen zu zerlegen und in folgender 

 Weise darzustellen: 



wo p^. jede Primzahl bedeutet, für welche k Congruenzwurzeln 

 von F(x) ^ existiren. Für alle Primzahlen ist bekanntlich der 



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— -r- gleich log — ; wenn man daher die Existenz 



einer Function voraussetzt, welche die Dichtigkeit der Primzahlen 

 angiebt, so kann man den obigen Satz einfach so formuliren, dass 

 diese Dichtigkeit mit derjenigen übereinstimmt, welche resultirt, 

 wenn jede Primzahl p soviel mal genommen wird, als die Con- 

 gruenz F(x) ^ mod. p Wurzeln hat, vorausgesetzt, dass F(x) 

 irreductibel ist. 



Nimmt man die Dichtigkeit aller Primzahlen als Maass und 

 bezeichnet alsdann die Dichtigkeit der Primzahlen p,, mit Dj., so 

 ist dem obigen Satze gemäss die Gleichung 



k=^n 



^kD, = 1 



A;=l 



charakteristisch für irreductible Gleichungen F(ß) = überhaupt. 

 Die Einzelwerthe der Dichtigkeiten Dj^ sind im Allgemeinen für 

 die verschiedenen Grade der Gleichungen verschieden, aber stets 

 dieselben für alle Gleichungen einer und derselben Classe. 



