158 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Wenn zwei Functionen Titen Grades F(x) und -P\ (^) dieselben 

 charakteristischen Zahlen Up besitzen, so hat die aus den Wur- 

 zeln beider gebildete Gleichung n^ten Grades für die Zahlen pj, die 

 Zahl i'p= F als charakteristische Zahl. Da jedenfalls Z>„ >> ist, 



so ist also 



XkDj,> 1 



d. h. die Gleichung muss reductibel sein. Dies kann auch schon 

 erschlossen werden, wenn man nur voraussetzt, dass die Dichtig- 

 keit der Primzahlen, für welche beide Congruenzen F(.v) ^ 

 und jPj(.r) ^ genau k Congruenzwurzeln haben, mit der Dich- 

 tigkeit derjenigen, für welche je eine derselben diese Eigenschaft 

 besitzt, für jedes k übereinstimmt. Ohne heute näher auf den 

 aligemeinen Fall einzugehen, hebe ich hervor, dass die zugehöri- 

 gen Galois'schen Gleichungen in dieselbe Gattung gehören müs- 

 sen, und dass also, wenn n Primzahl ist, auch die Gleichungen 

 selbst zu einer Gattung gehören, d. h. 



wenn für zwei Functionen, deren Grad eine Primzahl ist, 



die Primtheiler der verschiedenen Arten im Allgemeinen 



beiden gemeinsam sind, so sind die Wurzeln der einen 



Gleichung rational durch die der andern ausdrückbar, 



und es ist also (in ähnlicher Weise, wie nach dem Cauchy'schen 



Satze eine Function durch ihre Randwerthe bestimmt wird) mit 



blossen Congruenzbestimmungen der ganze Inbegriff der durch die 



Gleichung definirten algebraischen Irrationalitäten bestimmt. 



Um die einfachen Betrachtungen, welche zu dem obigen Satze 

 führen, an den Kreistheilungsgleichungen darzulegen, knüpfe ich 

 an Hrn. Kummer 's Ausführungen im §. VIII seiner im XVI. 

 Bande von Liouville's Journal veröffentlichten Abhandlung an. 

 Darnach ergiebt sich, wenn a wie a. a. O. eine Wurzel der Glei- 

 chung 



a;^--^ -h ,x^''^ 4- - + .r H- 1 = 



bedeutet, auch ohne die Voraussetzung der Irreductibilität, dass 

 der mittlere Werth von Nf(a) constant und also XNf(ct)~''^~^ für 



unendlich kleine positive Werthe von w proportional — ist. Wird 



w 



der Grad der irreductibeln Gleichung für a mit r bezeichnet, so 



ist unter Nf(a) natürlich nur das Product der r conjugirten Fac- 



toren zu verstehen. Nun ist andrerseits XNf(cc')~'^^^" gleich dem 



