vom 2. Februar 1880. 159 



auf alle Primzahlen j>^_i von der Form nA + l zu erstreckenden 

 Producte 



multiplicirt mit einem Producte von Factoren (l — p-h-hwy^^ ^,gj_ 

 ches, da Ä > 1 ist, für zu = endlich und grösser als Eins bleibt. 

 Man hat daher 



^^^' 2 "THi; = log-' 



,0 = '^ P^_i 



und dies ist füi den vorliegenden Fall der Inhalt des obigen all- 

 gemeinen Satzes, da die Primzahlen p^_j die sämmtlichen Primthei- 

 ler von 



bilden. — Der Nachweis, dass jene Gleichung für « irreductibel 

 oder also dass r = X — 1 ist, lasst sich im Wesentlichen nunmehr 

 darauf gründen, dass die Differenzen 



oo ■ oo 



m = i m = 1 



und also auch jene Dirichlet'schen Reihen 



v^ ßJiind.n 



.1+« 



(h = l,2,...X~2), 



wenn ß wie in der Kummer'schen Abhandlung eine primitive 

 (>. — l)te Wurzel der Einheit bedeutet, für lu = endlich bleiben. 

 Dass eben diese Reihen für w = auch nicht gleich Null werden, 

 ergiebt sich gleichzeitig mit der Irreductibilität. Ist nämlich P(w) 

 das Product aller dieser (A — 2) Reihen, so hat man die identische 

 Gleichung 



P(iv) X ^i-i-^ = n n (1 — pj^^i+'^O"'^. 

 '^ Pd . 



wenn mit d die verschiedenen Divisoren von X — 1, mit § die com- 

 plementären, wofür dS = ?. — 1 ist, und mit p^ die zum Divisor § 

 für den Modul X gehörigen Primzahlen bezeichnet werden, und da 

 die sämmtlichen den Werthen d <. /. — 1 entsprechenden Producte 

 für w = endlich und grösser als' Eins bleiben, so kommt 



hm. log. —^^ = hm. 2, -it;^ • 



