160 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Der Grenzwerth des Ausdrucks auf der rechten Seite ist nach der 

 obigen Deduction 



?. — 1 , 1 

 log 



r w 



es muss daher erstens P(w) iär w = o von Null verschieden und 

 zweitens r = ?. — 1 sein. Der Kernpunkt des hier geführten Nach- 

 weises der Irreductibilität, der sich ohne Weiteres auf Wurzeln 

 der Einheit mit zusammengesetzten Exponenten übertragen lässt, 

 ist darin zu finden, dass jene Dirichlet'schen Reihen selbst ein Sy- 

 stem von conjugirten Einheiten liefern, deren Unabhängigkeit da- 

 rauf beruht, dass die Werthe der Reihen für ^^7 = o von Null ver- 

 schieden sind. 



Die singulären Moduln der elliptischen Functionen führen zu 

 Gattungen von ganzzahligen Gleichungen F(a)) = 0, die ich in 

 meiner Mittheilung vom 26. Juni 1862 näher charakterisirt habe. 

 Wird der Grad der Function jF(^) wie dort mit 2iY bezeichnet, 

 so ist N gleich der Classenanzahl quadratischer Formen einer be- 

 stimmten negativen Determinante oder Discriminante, wenn man^ 

 wie ich es seit lange in meinen Universitäts -Vorlesungen zu thun 

 pflege, hierbei die Formen ax'^ -h bxy -]- cy'^ mit ganzen Zahlen 

 a^h^c zu Grunde legt und h^ — 4ac als deren Discriminante be- 

 zeichnet. Jede der Gleichungen F(^x) = zerfällt unter Adjunc- 

 tion der Quadratwurzel der Discriminante in zwei Abelsche Glei-» 

 chungen iVten Grades, und deren besondere Natur bestimmt sich 

 durch die auf die Composition bezüglichen Eigenschaften der zu- 

 gehörigen quadratischen Formen. Denkt man sich nämlich in der 

 Weise wie im Monatsbericht vom December 1870 S. 882 bis 885 

 sämmtliche Formenclassen durch ein Fundamentalsystem 



dargestellt, so sind die den einzelnen Classen entsprechenden Wur- 

 zeln jener Abelschen Gleichung iVten Grades gemäss den Ausein- 

 andersetzungen, welche ich im Monatsbericht vom December 1877 

 unter Nr. III gegeben habe, durch die entsprechenden Systeme der 

 V Indices 



charakterisirt, und wenn wie bei Gaufs (Disqu. arithm. Sectio V, 

 art. 305) m diejenige Zahl bedeutet, zu der im Sinne der Com- 



