404 Gesammtsitzung 



Hr. Kronecker las: 



Über die Potenzreste gewisser complexer Zahlen. 



Schon sehr früh hatte Eni er die Beobachtung gemacht, dass 

 die Primtheiler der quadratischen Formen einer bestimmten Dis- 

 criminante D in gewissen Linearformen mD -\- a enthalten sind, 

 aber erst im Jahre 1783 hat er diese für die Entwickelung der 

 Zahlentheorie so folgenreiche Beobachtung in jener merkwürdigen 

 Weise formulirt, welcher der Name des Reciprocitätsgesetzes seine 

 Entstehung verdankt^). Vor der Eleganz der Correlation, auf 

 welche hierbei — und mit Recht — stets ein besonderer Nach- 

 druck gelegt worden ist, trat seitdem die Bedeutung und der Ziel- 

 punkt der ursprünglichen Eul er "sehen Beobachtung einigermassen 

 in den Hintergrund. Nun ist mir aber in diesen Tagen bei der An- 

 wendung der arithmetischen Theorie der singulären Moduln auf die 

 Potenzreste complexer Zahlen eine specifisch neue Erscheinung 

 entgegengetreten, die unmittelbar an jene erste Wortfassung erin- 

 nert, in welcher Eul er den wesentlichen Inhalt des quadratischen 

 Reciprocitätsgesetzes veröffentlicht hat, und da diese Erscheinung 

 in der Theorie der Potenzreste nicht nur im Rückblick durch die 

 Analogie mit dem historischen Ausgangspunkt derselben sondern 

 auch im Vorblick durch den Hinweis auf ein neues Stadium der 

 Entwickelung ein besonderes Interesse darbietet, so will ich schon 

 heute der Akademie eine kurze Mittheilung darüber machen. 



Die Abelschen Gleichungen, welche in der Theorie der sin- 

 gulären Moduln vorkommen, lassen ganz ebenso wie die der Kreis- 

 theilung zwei verschiedene Arten von Bestimmungen derjenigen 

 Primtheiler zu, für welche sie als Congruenzen aufgefasst Wurzeln 

 haben. Die Identität dieser beiden Bestimmungsweisen ergiebt für 

 den Fall quadratischer Gleichungen ganz unmittelbar das quadra- 

 tische Reciprocitätsgesetz und führt im allgemeineren Falle der 

 Kreistheilungsgleichungen wenigstens zu einer Reciprocitäts-Bezie- 

 hung, die im Falle der cubischen und biquadratischen Reste noch 

 zum vollständigen Beweise des Reciprocitätsgesetzes ausreichend 

 ist. Man kann nämlich unter dem Gesichtspunkte der erwähnten 



^) Vgl. meine Bemerkungen im Monatsbericht vom April 1875. S. 268. 



