vom 22. April 1880. 405 



Identität alle jene Entwickelungen auffassen, welche in Gauss' 

 sechstem Beweise des quadratischen Reciprocitätsgesetzes zuerst 

 gegeben und nachher von Jacobi, Eisenstein und Andern bei 

 Behandlung der höheren Potenzreste weiter ausgebildet und mit 

 Erfolg benutzt worden sind. Um dies für den einfachen Fall 

 quadratischer Gleichungen vollständig darzulegen, sei q eine posi- 

 tive Primzahl und s = ± 1, so dass sq ^ l mod. 4 ist. Alsdann 

 sind die Primtheiler p von z^ — sq oder von x^ -\- x-\- ^{\ — sq) 

 durch die Bedingung 



(?)= 



vollständig charakterisirt. Andrerseits werden aber, wenn man 

 von der Darstellung der Wurzeln der Gleichung x^ -\~x-{-^{\-\-sq) = 

 als Perioden gter Wurzeln der Einheit Gebrauch macht, die Prim- 

 theiler p als solche durch die Congruenzbedingung 



\~\e q ^2^\-\e'i modi.p a = i,2,...9-i) 

 bestimmt, welche unmittelbar zu der Bedingung 



(f)= 



führt; und daraus, dass die beiden Bestimmungsweisen der Prim- 

 theiler p mit einander übereinstimmen müssen, folgt die Recipro- 

 citätsgleichung 



(f) = (?)■ 



Nunmehr sei wie in meiner Mittheilung vom 2. Febr. d. J. 



F{X) = (^3 _ 10^)2 + 31 (,r' — 1)2 , 



so dass die Wurzeln von F{x) ■= die Gattung der singulären 

 Moduln für 1^ — 31 bestimmen. Setzt man zur Abkürzung 



— l-H]/— 3 — 1 + |/— 31 



■C7 " 



2 2 



yjl=l G7-i-3üJ , vj2=l — tÄ7+3c»j2, 



so ist 



