406 Gesammtsitzung 



ot,2H-6o + l = , ro2-|-txr+8 = , v7iV]2+l = , 

 und die drei Wurzeln ,^0 5 5i ? £2 ^^^ cubischen Gleichung 



x^ — 10.r + (1 + 2 oct) (^2 — 1) = 

 sind durch die Gleichungen 



explicite gegeben. Die Primzahlen p, für Avelche die Congruenz 

 F(x) ^ mod. p Wurzeln hat, werden hiernach erstens durch die 

 Bedingung 



(=^) = 



und zweitens dadurch charakterisirt, dass -/j^ cabischer Rest des 

 complexen Primfactors von p in der Theorie der bezüglichen com- 

 plexen Zahlen sein muss. Diese Bedingungen können auch dahin 

 formulirt werden, dass erstens Zahlen 71 existiren müssen, wofür 



n^ H- n + 8 ^ mod. p 



ist, und dass zweitens 



(1 — 3n+üu)3 ^qzi mod. p 



sein muss. Die anderweite Bestimmung der Primtheiler p, welche 

 aus der Theorie der singulären Moduln hervorgeht (vgl. meine 

 Mittheilung vom 2. Febr. d. J.), ergiebt aber, dass dieselben durch 

 die Hauptform .^2 + 31 2/^ darstellbar sein müssen, und es folgt da- 

 her, dass die complexe Einheit yji cubischer Rest von allen im 

 Kummer'schen Sinne wirklichen complexen Primfactoren a-\-bw, 

 von allen andern aber Nichtrest ist. Auch die beiden andern cu- 

 bischen Restcharaktere, welche yh haben kann, scheiden sich nach 

 den Classen, welchen die Primzahl- Moduln angehören, so dass 

 überhaupt die Restcharaktere von yj^ durch den Index, den der be- 

 zügliche Modul im Sinne der Composition hat, bestimmt wird. — 

 Ist q irgend eine Primzahl von der Form 3k-\-l, welche im Sinne 

 der Composition zum Exponenten 3 gehört, so dass also nicht q 

 selbst sondern erst q^ durch die Hauptform x^-{-31iß darstellbar 

 ist, und hat man q^ in vier conjugirte complexe, aus w , txr gebil- 

 dete Factoren Ö'n , $'12 5 ^'21 ' ^22 zerlegt, wo der erste Index sich 

 auf die beiden Werthe von uj , der zweite auf die beiden Werthe 

 von w bezieht, so wird der Quotient zweier conjugirter q^^ , ^gx 



