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d) 7n = — Y- ^i® gegebenen Curven und ihre Trajectorien 

 sind confocale Parabeln, welche um 180° gegen einander 

 gedreht sind. Dieser Fall ist identisch mit der zu B ge- 

 hörigen Parabel schaar. 



Für m = -h 1 gehen die Curven in die Kreise Fig. 3 , für 

 m = — 1 in gerade Linien über. 



3) Die gegebenen Curven sind Parabeln nach der Gleichung 

 y^ = 2p {x — ö), in welcher a einen variabeln Parameter bezeich- 

 net. Die orthogonalen Trajectorien hierzu sind Curven nach der 

 Gleichung ?/ = e~^^* + ^\ wobei e die Basis der natürlichen Loga- 

 rithmen (Taf. I, Fig. 8). Man construirt diese Trajectorien mit 

 Hülfe der auf rechtwinklige Coordinaten bezogenen logarithmischen 

 Linie y = &^. 



4) Die gegebenen Curven sind Parabeln oder Hyperbeln im 

 weitern Sinn, nach der Gleichung Y'^X'^" = c. Die Trajectorien 

 hierzu sind gegeben durch m^/^ — nx^ = A; es sind gewöhnliche 

 Hyperbeln oder Ellipsen, je nachdem n positiv oder negativ ist. 



5) Die gegebenen Curven sind confocale Lemniscaten (Cas- 

 sini'sche Curven). Die orthogonalen Trajectorien hierzu sind 

 gleichseitige Hyperbeln, deren Axen der Lage und Grösse nach 

 variiren. 



6) Die gegebenen Curven sind nichtconfocale Lemniscaten 

 von der Form der getrennten Ovale in Fig. 1 auf Taf. H. Die 

 Trajectorien hierzu sind ebenfalls nichtconfocale Lemniscaten, die 

 aber aus einem Zweige bestehen und deren Axen die der gege- 

 benen unter 45° schneiden. Die zusammengehörigen Curvenstücke 

 sind in der Figur mit gleichen ZiiFern bezeichnet; eine der Curven 

 ist ein Kreis i). 



Die vorstehende Aufzählung macht keinen Anspruch auf Voll- 

 ständigkeit; damit wäre dem botanischen Publicum auch wenig ge- 

 dient. Ich gebe sogar zu, dass die Kenntniss der mathematisch- 

 regelmässigen Curven für das blosse Verständniss der hier zu er- 

 örternden Frage gar nicht nothwendig ist. Da jedoch die in der 

 Natur vorkommenden Trajectorien zur Vergleichung mit Kegel- 



^) Dieser Fall nach A. Wangerin in Grunert's Archiv, Theil LV, 

 S. 5 und Taf. I. 



