686 Gesammtsitzung 



29. Juli. Gesammtsitzung der Akademie. 



Hr. Kronecker las; 



Über den vierten Gaufs'schen Beweis des Reciprocitäts- 

 gesetzes für die quadratischen Reste. 



Gaufs hat im Art. 33 seiner Abhandlung Summatio quarum- 

 dam serierum singularium (19. September 1808) das Reciprocitäts- 

 gesetz für die quadratischen Reste als eine Folge der in den vor- 

 hergehenden Artikeln erlangten vollständigen Werthbestimmung je- 

 ner Reihen, die jetzt als Gaufs 'sehe bezeichnet werden, aufgezeigt, 

 ohne aber die eigentliche Quelle der algebraischen Identitäten an- 

 zugeben, welche den Ausgangspunkt der ganzen Entwickelungen 

 bilden. Als nun im Jahre 1837 Dirichlet im 17. Bd. des Crelle- 

 schen Journals die Gaufs'schen Reihen mittels bestimmter Inte- 

 grale summirte und im letzten Paragraphen seines Aufsatzes die 

 Gaufs 'sehe Ableitung des Reciprocitätsgesetzes reproducirte, konnte 

 man wohl in den Dirichlet'schen Integral -Betrachtungen eine 

 neue Beweismethode für dieses Fundamentaltheorem der Theorie 

 der quadratischen Reste sehen. Wenige Jahre nach Dirichlet, 

 im Jahre 1840, hat aber Cauchy im Y. Bande des Liouville- 

 schen Journals pag. 154 sqq. einen Aufsatz veröifentlicht, in wel- 

 chem er die vollständige Bestimmung der Gaufs'schen Reihen aus 

 einer von ihm früher publicirten Formel herleitete und eine werth- 

 volle Bemerkung über einen daraus hervorgehenden Beweis des 

 Reciprocitätsgesetzes daran knüpfte. Cauchy sagt in der Einlei- 

 tung von jener Bestimmung: „... et cette determination, comme 

 l'ont observe MM. Gaufs et Dirichlet, est un probleme, qui 

 presente de grandes difficultes. Les methodes ä l'aide desquelles 

 on est parvenu jusqu'ici ä surmonter cet obstacle, sont Celles que 

 M. Gaufs a developpees dans son beau Memoire, qui a pour titre: 

 "summatio serierum quarundam singularium" et celle que M. Di- 

 richlet a deduite de la consideration des integrales definies. En 

 reflechissant sur cette matiere j'ai ete assez heureux pour trouver 

 d'autres moyens de parvenir au meme but; et d'abord il est assez 

 remarquable, que la formule de Gauss, qui determine complete- 

 ment les sommes alternees avec leur signe, se trouve comprise 



