' vom 29. Juli 1880. ßd>l 



comme cas particulier dans une autre formule que j'ai donnee en 

 1817 dans le Bulletin de la Societe Philomatique. Cette derniere 

 formule, qui parut digne d'attention ä l'auteur de la Mecanique 

 Celeste, sert a la transformation d'une somme d'exponentielles dont 

 les exposants croissent comme les carres des nombres naturels; et 

 lorsqu'on attribue ä ces exposants des valeurs imaginaires, on re- 

 trouve avec la formule de M. Gauss la loi de reciprocite, qui 

 existe entre deux nombres premiers." Dieser Cauchy'sclie Weg 

 zur Bestimmung der G aufs' sehen Reihen führt auf die eigentliche 

 Quelle der Dirichlet 'sehen Methode; denn die Transformation 

 der Ö-Reihen, auf welche sich die Cauchy'sche Entwickelung 

 gründet, wird von Jacobi mittels derselben Methode hergeleitet, 

 welche Dirichlet auf die Summation der Reihen 



'■=2-1. 2i^7r *=9-' 21^77 

 X sin , 2, cos 



anwendet. Da nun bei Cauchy die Ö-Reihen an der Grenze der 

 Convergenz benutzt werden, so beschränkt sich der Unterschied 

 zwischen der Cauchy 'sehen und der Dirichlet 'sehen Methode 

 nur darauf, dass in der einen der Grenzübergang nach Herleitung 

 der Transformationsformel, in der andern vorher gemacht wird. 

 Aber die von Cauchy zuerst bemerkte Beziehung zwischen der 

 linearen Transformation der Ö-Reihen und der Werthbestimmung 

 der G aufs 'sehen Reihen ist noch enger, als wohl Cauchy ver- 

 muthet hat. Beides ist mit einander vollkommen äquivalent; denn 

 es lässt sich niclit nur, wie bei Cauchy, die Werthbestimmung 

 der Gaufs 'sehen Reihe aus der Ö- Transformation sondern auch 

 umgekehrt diese aus jener ableiten, und wenn dabei wiederum jene 

 andern Entwickelungen Cauchy 's zur Verwendung kommen, wel- 

 che die Grundlagen der Functionentheorie bilden, so ist dies wohl 

 geeignet, die Bedeutung Cauchy'scher Forschungen für den Fort- 

 schritt der mathematischen Erkenntniss in ein helles Licht zu 

 setzen. Das Merkwürdige der erwähnten Beziehung zwischen der 

 Ö- Transformation und der Werthbestimmung der Gaufs 'sehen Rei- 

 hen tritt aber noch mehr hervor, w^enn man die nahe Beziehung 

 der letzteren zum Reciprocitätsgesetz ins Auge fasst und darnach 

 erkennt, dass durch die Gaufs 'sehen Reihen ein Zusammenhang 

 zwischen der Transformationsgleichung der Ö-Reihen und der Re- 

 ciprocitätsgleichung für die quadratischen Reste vermittelt wird. 



