vom 29. Mi 1880, 689 



oder also des über die ganze Begrenzung des Theilgebietes er- 

 streckten Integrals 



in der That verschwindet. Das ursprünglich gegebene Gesammt- 

 gebiet kann nun in lauter solche Theilgebiete zerlegt werden; es 



kann ferner angenommen werden, dass die Ableitungen —- und — 



öx öy 



ausserhalb des Gebietes überall den Werth Null haben. In Folge 

 dessen kann jenes Resultat dahin formulirt werden, dass 



(I) ldf{x,y) = 



wird, wenn die Integration über die gesammte „natürliche Begren- 

 zung" erstreckt wird, d. h. über eine Linie die alle Flächentheile 

 aus- oder abschliesst und alle Linien und Punkte umschliesst, in 

 denen die ersten und zweiten Ableitungen von / jene Bedingung, 

 endliche Werthe zu haben, nicht erfüllen. Man sieht aber zugleich, 

 dass unbeschadet des Resultats Theile der natürlichen Begrenzung 

 weggelassen werden können, welche einzelne Punkte umschliessen, 

 in denen die ersten Ableitungen von / unstetig aber zugleich end- 

 lich sind, und solche, die ganze Linien von endlicher Länge um- 

 schliessen, in denen die Bedingung der Endlichkeit der zweiten 

 Ableitungen nicht mehr erfüllt ist, während die Stetigkeit der er- 

 sten Ableitungen bestehen bleibt. Für die nachher zu machende 

 Anw^endung ist aber noch hervorzuheben, dass für ein Gebiet, in 

 welchem die Punkte durch 



X = (jc)(r, s) ^ y = 4^(^, s) ; r = bis 1, s=0 bis 1, 



dargestellt sind, das Resultat 



/'(K)S=' 



sich, wenn 







8/ 39 3/ 3v|/ , ' 



-\ = V (r, s) 



3.^ 3s 3y 3s ^^^ ' ^ 



gesetzt wird, explicite folgendermaassen darstellt: 



(II) lim. - > lim. <y, ( r, - I — lim. - 'S lim. % ( r, - | = , 



