690 Gesammtsiizung 



wobei die Reihenfolge der Grenzoperationen besonders zu beach- 

 ten ist. 



Schliesslich ist daran zu erinnern, dass die Cauchy'sche 

 Darstellung der Function einer complexen Veränderlichen z: 



^ ^ 27riJ ^ — z 



nur ein CoroUar der vorstehenden Entwickelung ist, und dass 

 hieraus wiederum ganz unmittelbar die Sätze folgen, dass wenn 

 F'(z) auf der ganzen Begrenzung constant oder wenn es auch im 

 Unendlichen durchweg endlich bleibt, es nothwendig überall con- 

 stant sein muss. 



Dies vorausgeschickt soll nunmehr die lineare Transformation 

 der Ö-Reihen mit Hülfe der Cauchy'schen Betrachtungen ent- 

 wickelt werden. 



Bedeutet u eine. Grösse, deren absoluter Betrag grösser als 

 Eins ist, so ist die auf alle unendlich vielen Werthe von log^: be- 

 zügliche Summe 



eine eindeutige Function von z. Bezeichnet man dieselbe mit F(z), 

 so ist 



27rzJ ^ — z 



wenn die Integration im gewöhnlichen Sinne über einen Kreis mit 

 dem Radius r und im entgegengesetzten Sinne über einen Kreis 



mit dem Radius - erstreckt wird, vorausgesetzt, dass der absolute 



Betrag von z zwischen r und - liegt, und dass r >> 1 ist. Die 



Entwickelung nach Potenzen von z ergiebt hiernach als Coefficien- 

 ten sowohl für z'^ als für z"^ für jede nicht negative ganze Zahl ni 



— fF{0.t-d\og^, 



wenn die Integration über den Kreis mit dem Radius r oder also 

 auch über irgend eine den Funkt ^ = umschliessende Curve er- 

 streckt wird. Setzt man 



2logti ^ ' 



