696 Gesammtsitzung 



In den vorstehenden Entwickelungen hat sich als Grenzwerth 



für den Fall, dass der reelle Theil von \ogx verschwindet, wäh- 

 rend der imaginäre einen rationalen Werth § hat, der Ausdruck 



(1/f) 







(^) 



2Xi 

 oder, wenn o = — ^ ist, der Ausdruck 



Gl 

 (0 



^_j)i(>'-l)(^-l) 



ergeben, und es hat sich gezeigt, dass die Zeichen (-)'(-) mit 



den verallgemeinerten Legendre 'sehen Zeichen übereinstimmen. 

 Die Transformationsgleichung (IV), vs^elche als Werth dieser Aus- 

 drücke die positive Einheit ergiebt, führt also in der That mittels 

 der Cauchy'schen Grenzbetrachtung sowohl zu der in der Glei- 

 chung (VI) enthaltenen Werthbestimmung der Gaufs'schen Reihen 

 G als auch zum Reciprocitätsgesetz für die quadratischen Reste. 

 Aber es lässt sich auch umgekehrt aus der Gleichung (VI) die Glei- 

 chung (IV) erschliessen. Denn die auf der linken Seite der Glei- 

 chung (IV) stehende Function von ^, welche der Kürze halber mit 

 ^{x) bezeichnet werden möge, ist ebenso wie jede ihrer Ableitun- 

 gen im Innern des Kreises mit dem Radius 1 mit Ausschluss des 

 Nullpunkts überall endlich, da die den Nenner bildende Reihe Xy^ ""^ 

 wie z. B. die ebenfalls mit den Cauchy'schen Principien herzu- 

 leitende Froductentwickelung zeigt, in dem angegebenen Gebiete 

 nirgends verschwindet. Für den Nullpunkt selbst nähert sich 

 ^{x) dem reciproken Werthe des von — oo bis -^ oo erstreckten 



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Integrals /e~" "^Jw, so dass bei dem Cauchy'schen Integral nur 

 die Peripherie des Kreises mit dem Radius 1 als natürliche Be- 

 grenzung anzusehen ist. Setzt man nun x = re^*'"", so dass auf 

 der Begrenzung s von bis 1 geht, und nimmt alsdann in der 

 obigen Gleichung (II) für die Function %(?',«) 



