vom 29. Juli 1880. 697 



oder 



SO wird für einen beliebigen Punkt (J) im Innern des Kreises 



1 1 ^='^-1 / x\ 



*((£) — ! = 7 — ^. lim. - % lira.%|r,-|, 



und es ist auf Grund der in der Gleichung VI gegebenen Voraus- 

 setzung grade der Grenzwerth 



lim 



im.%(r,- ) 



der für jede ungrade Zahl fx gleich Null wird. Hiernach wird also 

 für jeden Punkt ^ im Innern des Kreises $ (^) = 1, d. h. die 

 Gleichung (IV) findet für alle Werthe von x im Innern des Kreises 

 statt, und es ergiebt sich dadurch auch wiederum der Werth des 



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für $(0) gefundenen Integrals /e~" "^du gleich Eins. Ferner zeigt 

 sich mit Hülfe derselben Cauchy 'sehen Principien die Transfor- 

 mationsgleichung (III) als eine Folge der specielleren Gleichung (IV), 

 da die auf der linken Seite der Gleichung (HI) stehende Function 

 von 0, wie leicht zu sehen ist, für alle und zwar auch für die im 

 Unendlichen liegenden Werthe dieser Variabein stets endlich bleibt 

 und daher überall einen constanten, durch die speciellere Gleichung 

 (III) zu bestimmenden Werth haben muss. Endlich ist daran zu 

 erinnern, dass die allgemeinste lineare Transformation der Ö-Rei- 

 hen durch wiederholte Anwendung der Gleichung (HI) und aber auch 

 direkt wie eben diese Gleichung abgeleitet werden kann. Wird in 

 üblicher Weise die auf alle ungraden (positiven und negativen) 

 Zahlen v erstreckte Summe 



mit 3(^,t) bezeichnet, so kommt: 



(VI") '^ (^-, . ^^) = C{V^^^) e^^ '■ Ä(^ , .) , 



WO die ganzen Zahlen «,/3,7,§ der Bedingung «^' — ßy = 1 

 genügen, und der von ^ wie von r unabhängige constante Factor 

 C bestimmt sich unmittelbar, wenn 



^ = |(«t + /3h-7t-j-6) 

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